Autor Tema: Teorema de Stokes 02

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

29 Junio, 2022, 06:02 pm
Leído 123 veces

zorropardo

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 85
  • País: br
  • Karma: +0/-0
Mostrar que :

$$\int_{C}ydx+zdy+xdz=\pi a^2 \sqrt{3},$$  con $$C$$ la curva de interseccion de la esfera $$x^2+y^2+z^2=a^2$$ con el plano $$x+y+z=0$$

Hice lo siguiente :

$$rot(F)=(-1,-1,-1)$$

La interseccion es: $$x^2+y^2+(-x-y)^2=0$$

solo que cuando procedo de esa forma me queda un termino en funcion de $$xy,$$ sera que existe otra forma de parametrizar la superficie  :-\ :-\ :-\
 

01 Julio, 2022, 12:35 pm
Respuesta #1

Masacroso

  • “Lo que oigo, lo olvido; lo que veo, lo recuerdo; lo que hago, lo aprendo” (antiguo proverbio chino)
  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,658
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Mostrar que :

$$\int_{C}ydx+zdy+xdz=\pi a^2 \sqrt{3},$$  con $$C$$ la curva de interseccion de la esfera $$x^2+y^2+z^2=a^2$$ con el plano $$x+y+z=0$$

Hice lo siguiente :

$$rot(F)=(-1,-1,-1)$$

La interseccion es: $$x^2+y^2+(-x-y)^2=0$$

solo que cuando procedo de esa forma me queda un termino en funcion de $$xy,$$ sera que existe otra forma de parametrizar la superficie  :-\ :-\ :-\
 

Como en el ejercicio anterior, me parece extraño que te pidan resolverlo utilizando el teorema de Stokes, ya que es bastante más laborioso que directamente parametrizando la curva \( C \) e integrando, más aún en este caso ya que la curva dada es bastante trivial (es un círculo de radio \( a \) con centro en el origen y una cierta inclinación). Usando una rotación que transforme el vector \( (1,1,1) \) en \( (0,0,1) \) el círculo quedaría contenido en el plano \( XY \).

Ahora bien, argumentando como en el otro ejercicio, observa que \( y\,d x=-z\,d x-x\,d x \) siendo \( x\,d x \) un diferencial exacto, y \( z\,d y=-x\,d y-y\,d y \) siendo de nuevo \( -y\,d y \) exacto, por tanto esos diferenciales no contribuyen a la integral al ser \( C \) una curva cerrada, quedando

\( \displaystyle{
\int_{C}y\,d x+x\,d z+z\,d y=\int_{C}(x\,d z-z\,d x)-x\,d y=\int_{S}2\,d x\,d z-\,d x\,d y
} \)

siendo \( S \) una superficie regular tal que \( \partial S=C \). Como \( C \) es un círculo la superficie \( S \) más sencilla es el disco cuyo contorno topológico es \( C \). Ya sólo te queda parametrizar ese disco e integrar.

01 Julio, 2022, 03:18 pm
Respuesta #2

zorropardo

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 85
  • País: br
  • Karma: +0/-0
Hola que tal, ante todo gracias por tus respuestas. Bueno el problema pide resolver usando el Teorema de Stokes (adjunto imagen). El libro no trata el tema  forma diferenciales , ademas tambien yo no se nada de formas   :-[ , sera que existe otra camino mas simple  de resolverlo :-\.