Hola a todos. Estoy intentando entender la siguiente prueva pero me estoy atascando en dos afirmaciones.
Prube que si \( \Omega \) es un abierto y limitado, \( k \in \mathbb{N}\cup {0} \) y \( 0<\gamma\leq 1 \), entonces \( C^{k,\gamma}(\overline{\Omega}) \overset{\mathrm{cpt}}{\hookrightarrow} C^{k}(\overline{\Omega}) \).
Decimos que \( C^{k,\gamma}(\overline{\Omega}) \overset{\mathrm{cpt}}{\hookrightarrow} c^{k}(\overline{\Omega}) \) si, y solamente si, toda sequencia \( (u_{n})\subset C^{k,\gamma}(\overline{\Omega}) \) limitada tiene una subsequencia convergente en \( C^{k}(\overline{\Omega}) \).
La prueba el autor la divide en dos partes.
1. Prueba que \( C^{0,\gamma}(\overline{\Omega}) \overset{\mathrm{cpt}}{\hookrightarrow} C^{0}(\overline{\Omega}) \).
2. Si \( (u_{n})\subset C^{k,\gamma}(\overline{\Omega}) \) es una sequencia limitada, entonces existe una sequencia de \( (u_{n}) \), que denotaremos por \( (u_{n}) \), tal que \( u_{n}\to u \) en \( C(\overline{\Omega}) \). Para cada multi-índice \( \alpha \) tal que \( |\alpha|\leq k \),
\( \left\|{u_{n}}\right\|_{k,\gamma}= \left\|{u_{n}}\right\|_{k}+ \displaystyle \sum_{\left\|{\alpha}\right\|\leq k} H_{\gamma}[D^{\gamma}u_{n}]\leq M \).
Luego,
\( \left\|{D^{\alpha}u_{n}}\right\|_{0,\gamma}= \left\|{D^{\alpha}u_{n}}\right\|_{0}+ H_{\gamma}[D^{\gamma}u_{n}]\leq M \).
Usando 1. y pasando a una subsequencia si es necesario tenemos \( D^{\alpha}u_{n} \to \varphi_{\alpha} \) en \( C(\overline{\Omega}) \). Como la convergencia es uniforme devemos tener que \( \varphi_{\alpha}= D^{\alpha}u \). De ese modo, \( u\in C^{k}(\overline{\Omega}) \) y
\( \left\|{u_{n}-u}\right\|_{k}=\displaystyle \sum_{\left\|{\alpha}\right\|\leq k}\left\|{D^{\alpha}u_{n}- D^{\alpha}u }\right\| \to 0 \).
Las dos cuestiones que no estoy logrando ver son las siquentes.
1. \( (u_{n})\subset C^{k,\gamma}(\overline{\Omega}) \) es una sequencia limitada, entonces existe una sequencia de \( (u_{n}) \), que denotaremos por \( (u_{n}) \), tal que \( u_{n}\to u \) en \( C(\overline{\Omega}) \).
2. De ese modo, \( u\in C^{k}(\overline{\Omega}) \).
Gracias de antemano.
