[JesusSaez]

¿Cómo puedo resolver este ejercicio?, ya le busqué maximizando y así pero no encuentro una forma
Sea \(  f_n:[-1,1]\rightarrow\mathbb{R}  \) definida por \( f_n(x)=|x|^{1+1/n} \). Demostrar que \( f_n \) converge uniformemente a \( |x| \).

[Luis Fuentes]

Hola

¿Cómo puedo resolver este ejercicio?, ya le busqué maximizando y así pero no encuentro una forma
Sea f_n:[-1,1]\rightarrow\mathbb{R} definida por f_n(x)=|x|^{1+1/n}. Demostrar que f_n converge uniformemente a |x|.

Ten en cuenta que por la simetría de la función basta que trabajes en \( x=[0,1] \). Si consideras:

\( \cancel{g_n(x)=x^{1+1/n}-x} \)  (debe de ser \( g_n(x)=x-x^{1+1/n} \))

puedes ver que tiene el máximo en \( x_n=\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n \) y después comprueba que:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}g_n(x_n)=0 \)

Saludos.

CORREGIDO

[JesusSaez]

De hecho había maximizado igual, mi duda es, ¿cómo justifico que el punto \( \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \) es un máximo de cada \( g_n \)? Lo que pasa es que al evaluar la segunda derivada en ese punto sigue siendo positiva y en teoría para que sea máximo debe ser negativa.

[Luis Fuentes]

Hola

De hecho había maximizado igual, mi duda es, ¿cómo justifico que el punto \( \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \) es un máximo de cada \( g_n \)? Lo que pasa es que al evaluar la segunda derivada en ese punto sigue siendo positiva y en teoría para que sea máximo debe ser negativa.

Si; tengo una pequeña errata. En realidad lo que queremos acotar es el valor absoluto de la diferencia:

\( |x^{1+1/n}-x| \)

que para \( x\in [0,1]  \)coincide con \( g_n(x)=x-x^{1+1/n} \) (la resta en el orden inverso). Ahora si es una función positiva que en \( \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \) alcanza el máximo.

Saludos.