Autor Tema: Una demostración del último Teorema de Fermat

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15 Junio, 2022, 07:35 pm
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mariasf

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Se adjunta una demostración del último teorema de Fermat diferente a la de Andew Wiles

15 Junio, 2022, 08:09 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Bienvenida al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Se adjunta una demostración del último teorema de Fermat diferente a la de Andew Wiles

 La demostración no está bien. En la página (6) partes de:

\( x^3-a^3=b^3 \)

 Supones que \( b=rp \) enteros y después factorizas:

\( x^3-a^3=(x^{3/2}-a^{3/2})(x^{3/2}+a^{3/2}) \)

 y pretendes igualar cada factor respectivamente a \( r^3 \) y \( p^3 \)

 Para poder hacer esa igualdad (garantizar que es cierta) necesitarías que los factores  \( (x^{3/2}-a^{3/2}) \) y \( (x^{3/2}+a^{3/2}) \) fuesen enteros y coprimos (bajo el supuesto de que \( r \) y \( p \) son coprimos); pero es que en este caso ni siquiera tienen porque ser enteros.

 Por tanto todo lo que haces a partir de ahí está mal. Se basa en un supuesto que no tiene porque darse.

 Más adelante de hecho tomas por ejemplo \( y^3=(r^3+p^3)^2=4x^3 \), pero entonces y no sería entero.

Saludos.

17 Junio, 2022, 01:52 pm
Respuesta #2

mariasf

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Muchas gracias Luis por tu trabajo de supervisión: El procedimiento utilizado para obtener todas las ternas pitagóricas ( n=2), lo he trasladado para los casos n=3, n=4, ......n=n, de tal forma que si es valido para n=2, también lo debiera ser para el resto de valores de n.  Te repito muchas gracias. Aportaré algún trabajo diferente. Un saludo

17 Junio, 2022, 09:14 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Muchas gracias Luis por tu trabajo de supervisión: El procedimiento utilizado para obtener todas las ternas pitagóricas ( n=2), lo he trasladado para los casos n=3, n=4, ......n=n, de tal forma que si es valido para n=2, también lo debiera ser para el resto de valores de n. Te repito muchas gracias. Aportaré algún trabajo diferente. Un saludo

Pero ya has visto que no es así y te he mostrado el porqué. ¿Lo has entendido?.

El el caso de \( n=2 \) descompones \( x^2-a^2=(x-a)(x+a) \) de manera que \( x,a \) son enteros si y sólo si \( x-a,x+a \) son enteros (de la misma paridad).

El el caso de \( n=3 \) descompones \( x^3-a^3=(x^{3/2}-a^{3/2})(x^{3/2}+a^{3/2}) \) y ahora podría ocurrir que \( x,a \) fueran enteros pero \( (x^{3/2}-a^{3/2}) \) y \( (x^{3/2}+a^{3/2}) \) no lo sean y viceversa.

Hay un caso trivial donde puede verlo aún más claro. Sería el caso \( n=1 \). Es claro que SI existen soluciones enteras de la ecuación:

\( x-a=b \)

Si descompones:

\( x-a=(x^{1/2}-a^{1/2})(x^{1/2}+a^{1/2}) \)

los dos factores no serán enteros en general. Por ejemplo:

\( 17-2=15 \) (\( x=16,\quad x=2,\quad b=15 \))

Sin embargo los factores \( \sqrt{17}+\sqrt{2} \) y \( \sqrt{17}-\sqrt{2} \) NO son enteros.

¿Te queda alguna duda? ¿Comprendes qué no está bien la generalización qué intentas?

Saludos.

21 Junio, 2022, 11:38 am
Respuesta #4

mariasf

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Hola Luís: Tú objeción a un paso intermedio de mi demostración de del último teorema de Fermat se puede salvar cambiando las condiciones iniciales de r,p, estableciéndolas de la siguiente forma:

"Si r,p son números reales positivos con las siguientes condiciones:
       a) \( r>p \)
       b) El producto \( r·p \)=número entero
Si \( b=r·p \),  \( b^3=r^3·p^3 \),.........."       

De tal forma que se podría continuar la demostración hasta concluir que no existen ternas de números enteros positivos que cumplan la ecuación:
\(  y^3-c^3=d^3 \)

 El cambio propuesto de las condiciones iniciales sería valido, no solo para n=3 sino para cualquier n.

Gracias por tu atención.
Un saludo


21 Junio, 2022, 01:16 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Hola Luís: Tú objeción a un paso intermedio de mi demostración de del último teorema de Fermat se puede salvar cambiando las condiciones iniciales de r,p, estableciéndolas de la siguiente forma:

"Si r,p son números reales positivos con las siguientes condiciones:
       a) \( r>p \)
       b) El producto \( r·p \)=número entero
Si \( b=r·p \),  \( b^3=r^3·p^3 \),.........."       

De tal forma que se podría continuar la demostración hasta concluir que no existen ternas de números enteros positivos que cumplan la ecuación:
\(  y^3-c^3=d^3 \)

 El cambio propuesto de las condiciones iniciales sería valido, no solo para n=3 sino para cualquier n.

 Pero sigue sin estar bien.

 Tu partes de que existen enteros \( x^3-a^3=b^3 \). Tomas \( r,p \) reales tales que:

\( b=rp,\quad r^3=(x^{3/2}+a^{3/2}),\quad p^3=(x^{3/2}-a^{3/2}) \)

o equivalentemente:

 \( x^3=(r^3+p^3)^2/4,\quad a^3=(r^3-p^3)/4 \)

 y luego tomas (y aquí viene lo que no tiene sentido o no prueba nada):

 \( y^3=(r^3+p^3)^2=4x^3 \)

 \( c^3=(r^3-p^3)^2=4a^3 \)

 \( d^3=4r^4p^3=4b^3 \)

 Es cierto que \( y^3-c^3=d^3 \) y que \( y,c,d \) NO pueden ser enteros si \( x,a,b \) lo son, porque por ejemplo si \( x \) es entero entonces \( y=\sqrt[3]{4}x \) NO lo es.

 Pero ahí no se prueba nada útil. Lo único que dices es que si \( x,a,b \) son enteros cumpliendo \( x^3-a^3=b^3 \), entonces \( y=\sqrt[3]{4}x \), \( c=\sqrt[3]{4}a \) y \( d=\sqrt[3]{4}b \) son números que cumplen \( y^3-c^3=d^3 \) pero NO son enteros. ¿Y bien? Eso no impide que pudieran existir los enteros originales \( x,a,b \) son  cumpliendo \( x^3-a^3=b^3 \).

 Por ejemplo si tomo \( x^2-a^2=b^2 \) entonces  \( y=\sqrt[2]{2}x \), \( c=\sqrt[2]{2}a \) y \( d=\sqrt[2]{2}b \) son números que cumplen \( y^2-c^2=d^2 \) pero NO son enteros. Pero eso no impide que existan los enteros originales \( x,a,b \) son  cumpliendo \( x^2-a^2=b^2 \). ¡De hecho existen! (p.ej \( (x,a,b)=(5,3,4) \)).

Saludos.