Autor Tema: Recta perpendicular al plano

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25 Mayo, 2022, 04:56 pm
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petras

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Sea r una línea espacial y P un punto fuera de ella. Demuestre que los pies de las perpendiculares trazadas desde P a cada uno de los planos que pasan por r se encuentran en el mismo plano.

25 Mayo, 2022, 10:19 pm
Respuesta #1

delmar

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Hola

Por ser un problema genérico, se puede considerar una referencia cartesiana espacial de tal manera que la recta r coincida con el eje X y el punto P sea un punto del eje Z sus coordenadas serían  \( P(0,0,z_0) \) por sencillez \( z_0>0 \) Cualquier plano del espacio, que contenga al eje X(recta r), denominándole plano \( \lambda \), corta al plano coordenado YZ, la intersección es una recta, cuyo vector director unitario se puede poner \( cos \theta \vec{j}+ sen \theta \vec{k}, \ 0\leq{\theta}< \pi \) donde \( \theta \) es el ángulo entre el vector director y \( \vec{j} \). En este punto se observa que \( \vec{i}, \ \ (cos \theta \vec{j}+ sen \theta \vec{k}) \) son vectores contenidos en el plano \( \lambda \) y son una base  ortonormal del subespacio \( \lambda \) en consecuencia la proyección ortogonal del vector P sobre el subespacio \( \lambda \) será : \( ProyP_{\lambda}=<z_0\vec{k},\vec{i}> \ \vec{i}+<z_0\vec{k},(cos \theta \vec{j}+ sen \theta \vec{k})> \ (cos \theta \vec{j}+ sen \theta \vec{k})=z_0 \ sen \theta \ cos \theta \ \vec{j} +z_0 \ sen^2 \theta \vec{k} \) por sencilla observación todos estas proyecciones, están en el plano coordenado YZ, su abscisa es x=0


Saludos

26 Mayo, 2022, 12:30 am
Respuesta #2

petras

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Hola

Por ser un problema genérico, se puede considerar una referencia cartesiana espacial de tal manera que la recta r coincida con el eje X y el punto P sea un punto del eje Z sus coordenadas serían  \( P(0,0,z_0) \) por sencillez \( z_0>0 \) Cualquier plano del espacio, que contenga al eje X(recta r), denominándole plano \( \lambda \), corta al plano coordenado YZ, la intersección es una recta, cuyo vector director unitario se puede poner \( cos \theta \vec{j}+ sen \theta \vec{k}, \ 0\leq{\theta}< \pi \) donde \( \theta \) es el ángulo entre el vector director y \( \vec{j} \). En este punto se observa que \( \vec{i}, \ \ (cos \theta \vec{j}+ sen \theta \vec{k}) \) son vectores contenidos en el plano \( \lambda \) y son una base  ortonormal del subespacio \( \lambda \) en consecuencia la proyección ortogonal del vector P sobre el subespacio \( \lambda \) será : \( ProyP_{\lambda}=<z_0\vec{k},\vec{i}> \ \vec{i}+<z_0\vec{k},(cos \theta \vec{j}+ sen \theta \vec{k})> \ (cos \theta \vec{j}+ sen \theta \vec{k})=z_0 \ sen \theta \ cos \theta \ \vec{j} +z_0 \ sen^2 \theta \vec{k} \) por sencilla observación todos estas proyecciones, están en el plano coordenado YZ, su abscisa es x=0


Saludos

Agradecido
Saludos