Autor Tema: Raices de un polinomio

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10 Marzo, 2022, 08:02 pm
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S.S

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Hola a todos, tengo lo siguiente, espero alguien me pueda echar una mano.

La idea es escontrar los ceros aparte de \( x=0 \) de las siguientes expresiones :

\( f(x) = x^2 \left(\left((3-4 k) x^{4 k}+x^2\right) \tan ^{-1}(x)-\frac{x \left(x^{4 k}+x^2\right)}{x^2+1}\right) \)
\( g(x)= -\frac{4 (2 k (4 k-5)+3) x^{4 k} \left(\left(8 k^2 \left(x^2+1\right)^2-2 k \left(x^2+1\right) \left(7 x^2+3\right)+6 x^4+3 x^2+1\right) x^{4 k}+x^4 \left((4 k-1) x^2+4 k-5\right)\right)}{\left(x^2+1\right)^3} \)

Donde \( k\in \mathbb{Z}^{+} \) (entero positivo fixo) en principio. No sé si esto sea posible, si no es posible tambien me gustaria saber el porque o en que radica la dificultad. Gracias de antemano.

15 Marzo, 2022, 10:26 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola a todos, tengo lo siguiente, espero alguien me pueda echar una mano.

La idea es escontrar los ceros aparte de \( x=0 \) de las siguientes expresiones :

\( f(x) = x^2 \left(\left((3-4 k) x^{4 k}+x^2\right) \tan ^{-1}(x)-\frac{x \left(x^{4 k}+x^2\right)}{x^2+1}\right) \)
\( g(x)= -\frac{4 (2 k (4 k-5)+3) x^{4 k} \left(\left(8 k^2 \left(x^2+1\right)^2-2 k \left(x^2+1\right) \left(7 x^2+3\right)+6 x^4+3 x^2+1\right) x^{4 k}+x^4 \left((4 k-1) x^2+4 k-5\right)\right)}{\left(x^2+1\right)^3} \)

Donde \( k\in \mathbb{Z}^{+} \) (entero positivo fixo) en principio. No sé si esto sea posible, si no es posible tambien me gustaria saber el porque o en que radica la dificultad. Gracias de antemano.

 ¿En qué contexto te surge el problema de calcular las raíces de esas expresiones?.

 La primera es una función que combina un polinomio con una tangente: en general no se pueden resolver explícitamente.

 La segunda es un polinomio de grado mayor a \( 4k \): en general un polinomio de grado mayor que \( 4 \) no puede resolverse explícitamente.

 Fíjate que digo en general;  para funciones muy particulares, aún en las condiciones descritas, quizá pudiera darse una solución. Pero no parece el caso de las que planteas.

Saludos.

16 Marzo, 2022, 03:18 am
Respuesta #2

S.S

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Hola Luis. Gracias por la respuesta.

Estas expresiones aparecen en el intento por provar que \(  F= \{ u_{0}= x^{4 k} \tan ^{-1}(x)+x^2 \tan ^{-1}(x) ,u_{1}=x^3,u_{2}=x^{4 k},u_{3}=x^2,u_{4}=x,u_{5}=x^{4 k+1}\} \)  es una familia de Chebyshev. Voy a escribir las definiciones para poder continuar con el planteamiento:

 Let \( F=[u_{0},\dots, u_{n}] \) be ordered set of smooth functions defined on the closed interval \(  [a,b] \) , we go to denote how the vector space spanned for the family \(  F \)  how \(  Span(F) \) , and the number of zeros of the one element of \(  Span(F) \)  how \(  Z(F) \) .

1. The set \(  F \)  is said to be an extended Chebyshev system (ET-system) on \(  [a,b] \)  if, and only if the number \(  Z(F) \)  is less than or iqual to \(  n \) .

2. We say that \(  F \)  is an extended complete Chebyshev system (ECT-system) on the closed interval \(  [a,b] \)  if, and only if for all \(  k \in \{1,2,\dots,n\} \)  the \(  \{u_{i}\}_{i=0}^{k} \)  is a Chebyshev system.

3. The set \(  F \) is an Extended complete Chebyshev system on the interval \(  [a,b] \)  if, and only if for all \(  k \in \{1,2,\dots,n\} \)  we have that \(  W(u_{0},u_{1},\dots, u_{k})(x)\neq 0 \)  for all \(  x \in [a,b] \) . (Here W is the Wronskian.)



se calculo los Wronskianos en el intervalo \( (0,\infty) \) de las primeras funciones obtengo:

\(  W(u_{0}) = x^{4 k} \tan ^{-1}(x)+x^2 \tan ^{-1}(x) \)

\(  W(u_{0},u_{1})= x^2 \left(\left((3-4 k) x^{4 k}+x^2\right) \tan ^{-1}(x)-\frac{x \left(x^{4 k}+x^2\right)}{x^2+1}\right)  \)

\(  W(u_{0},u_{1},u_{2})= \frac{2 (4 k-3) x^{4 k+1} \left(x^2 \left(1-2 k \left(x^2+1\right)\right)+(2 k-1) \left(x^2+1\right)^2 x \tan ^{-1}(x)+\left(2 (k-1) x^2+2 k-1\right) x^{4 k}\right)}{\left(x^2+1\right)^2}  \)

Era debido a eso mi pregunta. Yo cambie el orden en el conjunto \( F \) en el intervalo \( (0,\infty) \) y calculé los Wronskianos de la siguiente forma:

\(  W(u_{4}) = x \)

\(  W(u_{4},u_{3})=  x^2 \)

\(  W(u_{4},u_{3},u_{1})= 2 x^3  \)

\(  W(u_{4},u_{3},u_{1},u_{5})= 16 k (1 - 6 k + 8 k^2) x^(1 + 4 k)  \)

\(  W(u_{4},u_{3},u_{1},u_{5},u_{2})= -32 k (4 k-3) \left(8 k^2-6 k+1\right)^2 x^{8 k-3}  \)

\(  W(u_{4},u_{3},u_{1},u_{5},u_{2},u_{0})= \frac{512 k (4 k-3) \left(8 k^2-6 k+1\right)^2 x^{8 k-5} \left(\left(8 k^2+6 k+1\right) x^6+\left(8 k^3 \left(x^2+1\right)^3-6 k^2 \left(3 x^2-1\right) \left(x^2+1\right)^2+k \left(13 x^4-22 x^2+1\right) \left(x^2+1\right)-3 x^2 \left(x^4-5 x^2+2\right)\right) x^{4 k}+(4 k (4 k-3)-13) x^4+2 (k-1) (4 k-5) x^2\right)}{\left(x^2+1\right)^5}  \)

Así parece que en el último es que tengo el problema con las raices, pero no sé si se pueda cambiar el orden.

En un paper que voy a adjuntar encontré una cuestion parecida que se puede encontrar en la página 9 y   la 14 con unos  Wronskianos como el último , la verdad eso lo estoy viendo apenas hoy y pieso que por ahi esta la solución al problema. yo en principio estoy jugando a  hacer la primera columna de la página 4 pero cambie a \( P_{i}^{\pm} \) y \( Q_{i}^{\pm} \) por un polinomio cuadrático. En principio se que es mucho pedir que me ayude con esto, pero si tuviera curiosidad de ver lo que se esta haciendo en ese paper que es reciente y depronto le surge algo le agradezco.

De nuevo muchas gracias.

16 Marzo, 2022, 10:05 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Para ser sincero no tengo estos días mucho tiempo de mirar esto con calma. Pero una observación: a vuelapluma en todas las condiciones que tienes que comprobar lo relevante es el número de ceros, y no calcular exactamente las raíces. Es una cuestión mucho más débil y por tanto más asequible que la que tu planteabas en la primera pregunta.

Saludos.

16 Marzo, 2022, 12:52 pm
Respuesta #4

S.S

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Hola Luis.

Gracias de nuevo.  :)