[zapayan]

Hola amigos,

Tengo el siguiente problema:

Sea \( d:\mathbb{N}\rightarrow{\mathbb{N}} \) una funcion definida por \( d(m,n)=\left |{m^2 - n^2}\right | \) pruebe que
\( (\mathbb{N},d) \) es una métrica.

Uds me diran si empiezo bien:

1) \( d(m,n)=0 \) Esto implica que \( \left |{m^2 - n^2}\right |=0 \) luego \( m^2 - n^2 =0 \) de donde
\( m^2 = n^2 \)

NO se si vaya bien, según los axiomas de espacios métricos se "haría" igual que un ejercicio que propuse en el foro. Pero algo me dice
que debo definir una bola con \( r>0 \). Quedo atento a sus comentarios. Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Para la primera te queda \( \sqrt{m^2} = \sqrt{n^2}  \) entonces \( |m| = |n|  \) como estamos en los naturales lo tenemos.
También Si \(  0 = m^2-n^2 = (m-n) \cdot (m+n)  \) luego \( m=n \).
Para la segunda propiedad:
\( d(m,n) = |m^2-n^2| = |n^2-m^2| = \cdots  \).
Para la tercera:
\( d(m,n) = |m^2-n^2| = |m^2 - p^2 + p^2 - n^2| \leq \cdots  \).

[zapayan]

Para la primera te queda \( \sqrt{m^2} = \sqrt{n^2}  \) entonces \( |m| = |n|  \) como estamos en los naturales lo tenemos.
También Si \(  0 = m^2-n^2 = (m-n) \cdot (m+n)  \) luego \( m=n \).
Para la segunda propiedad:
\( d(m,n) = |m^2-n^2| = |n^2-m^2| = \cdots  \).
Para la tercera:
\( d(m,n) = |m^2-n^2| = |m^2 - p^2 + p^2 - n^2| \leq \cdots  \).

Muy claro,lo hare en el siguiente comentario y vemos si quedaria bien...

Gracias

[zapayan]

iii)\( d(m,p)\leq{d(m,n)+d(n,p)} \)

=\( \left |{m^2 - n^2}\right |+\left |{n^2 - p^2}\right |\geq{\left |{m^2 - n^2 + n^2 - p^2}\right |} \)=\( \left |{m^2 -p^2}\right | \)=\( d(m,p) \)

Y ¿Bien?

gracias por sus comentarios

[Juan Pablo Sancho]

Si está bien.
\( d(m,p) = |m^2-p^2| = |m^2 - n^2 + n^2 - p^2| \leq |m^2-n^2| + |n^2-p^2| = d(m,n) + d(n,p)  \)
\( d(m,p)  \leq  d(m,n) + d(n,p)  \)