Autor Tema: Topología Inicial y Final

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06 Marzo, 2022, 12:16 am
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Julian Franco

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Hola saludos, me gustaría ayuda con un ejercicio :laugh:

Considere la topología de las colas a la derecha definida sobre el conjunto de los números enteros. ¿Cuál es la topología inicial sobre \( \Bbb R \) inducida por la función parte entera?

Considere la topología de las colas a la derecha definida sobre el conjunto de los números reales. ¿Cuál es la topología final sobre \( \Bbb Z \) inducida por la función parte entera?.

06 Marzo, 2022, 12:29 am
Respuesta #1

Julian Franco

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Pues mi idea en el caso de la primera como me están diciendo que la topología de colas a la derecha esta definida sobre los \( \Bbb Z \) que en este caso considerando la función de \( \Bbb R \) en \( \Bbb Z \) seria en el codominio y pues la idea seria buscar la topología menos fina, pero pues no se si se pueda proseguir con comparaciones, definir distintas topologías sobre \( \Bbb R \) y hacer comparaciones, para encontrar la menos fina...

Me gustaria saber sus opiniones y sugerencias, Muchísimas Gracias  :laugh:

06 Marzo, 2022, 11:53 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

 En general si tienes \( f:A\to B \) y una topología en \( B \), la topología inicial en \( A \) es la menor topología que hace continua la aplicación. Se demuestra que sus abiertos son los conjuntos \( f^{-1}(U) \) donde \( U \) es abierto en \( B \).

 En tu caso tienes \( f:\Bbb R\to \Bbb Z,\quad f(x)=[x] \). Los abiertos de \( \Bbb Z \) con la topología de las colas a la derecha son de la forma \( (n,+\infty) \).

 Ten en cuenta que:

\( f^{-1}(n,+\infty)=\{x\in \Bbb R|[x]>n\}=[n+1,\infty) \)

Saludos.

06 Marzo, 2022, 07:25 pm
Respuesta #3

Julian Franco

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Muchas gracias :laugh: ;)

Saludos