Autor Tema: Demostrar que una función es una métrica en R

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04 Marzo, 2022, 08:45 pm
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zapayan

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Buenas amigos

Tengo el siguiente problema:

Sea \( f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}} \) una función continua y creciente (es decir, tal que \( s<t \) implica que
\( f(s)<f(t) \)), demostrar que la función definida por: \( d_f (x,y)=\left |{f(x)-f(y)}\right | \)

Es una métrica en \( \mathbb{R} \)

No se si empecé bien:
Supongamos que \( d_f \) es no negativa y simétrica, luego si \( x=y \) entonces \( d_f (x,y)=0 \)
si \( d_f (x,y)=0 \) para cualquier \( x\in{\mathbb{R}} \),

\( 0\leq{\left |{f(x)-f(y)}\right |}\leq{max_{t\in R}\left|f\left(t\right)-f\left(t\right)\right|=0} \)

De aquí según los axiomas de métrica, ni idea de como seguir.

Agradezco de antemano sus aportes.

04 Marzo, 2022, 09:01 pm
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Si \( d_f(x,y) = |f(x)-f(y)|=0  \) entonces \( x=y \) por ser estrictamente creciente.
Tienes que \( d_f(x,y) = |f(x)-f(y)| = |f(y) -f(x)| = \cdots  \).

Y por último:
\( d_f(x,y) = |f(x)-f(y)| = |f(x)-f(z) + f(z) - f(y)| \leq \cdots  \).

04 Marzo, 2022, 09:30 pm
Respuesta #2

zapayan

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Pero lo que  hice, ¿Esta bien?.. gracias por la ayuda, lo demás creo divisarlo.

04 Marzo, 2022, 11:45 pm
Respuesta #3

delmar

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Hola

Buenas amigos

Tengo el siguiente problema:

Sea \( f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}} \) una función continua y creciente (es decir, tal que \( s<t \) implica que
\( f(s)<f(t) \)), demostrar que la función definida por: \( d_f (x,y)=\left |{f(x)-f(y)}\right | \)

Es una métrica en \( \mathbb{R} \)

No se si empecé bien:
Supongamos que \( d_f \) es no negativa y simétrica, luego si \( x=y \) entonces \( d_f (x,y)=0 \)
si \( d_f (x,y)=0 \) para cualquier \( x\in{\mathbb{R}} \),

\( 0\leq{\left |{f(x)-f(y)}\right |}\leq{max_{t\in R}\left|f\left(t\right)-f\left(t\right)\right|=0} \)

De aquí según los axiomas de métrica, ni idea de como seguir.

Agradezco de antemano sus aportes.

Lo que se ha demostrar es que la función \( \mu \) es una métrica :

Dado \( f:R\rightarrow{R} \) continua y creciente y

\( \mu:R \ X \ R\rightarrow{[0,\infty)} \)

\( (x,y) \in{R^2}\rightarrow{\mu(x,y)=\left |{f(x)-f(y)}\right |} \)


Para que sea métrica ha de cumplir tres axiomas :

1) \( \mu(x,y)\geq{0}\wedge \mu(x,y)=0\Leftrightarrow{x=y} \)

2) \( \mu(x,y)=\mu(y,x) \)

3) \( \mu(x,z)\leq{\mu(x,y)+\mu(y,z)} \)

Le he puesto \( \mu \) por la razón, que únicamente después de averiguar si cumple los axiomas, se podrá en el caso de cumplirlos decir que es una métrica y denominarla \( \mu(x,y)=d_f(x,y) \)

1) axioma

\( \forall{x,y\in{R}}, \ \ \mu(x,y)=\left |{f(x)-f(y)}\right |\geq{0} \)

si \( x=y\Rightarrow{\mu(x,y)=\left |{f(x)-f(x)}\right |=0} \)

si \( x\neq y \) hay dos alternativas

A) x>y   B) x<y

Considerando A)

\( x>y\Rightarrow{f(x)-f(y)>0}\Rightarrow{\mu(x,y)=\left |{f(x)-f(y)}\right |>0} \)

Averigua para B) y saca conclusiones

Luego para los otros dos axiomas ve el aporte de Juan Pablo Sancho

Saludos

05 Marzo, 2022, 04:43 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Pero lo que  hice, ¿Esta bien?.. gracias por la ayuda, lo demás creo divisarlo.

No. No está bien.

Supongamos que \( d_f \) es no negativa y simétrica, luego si \( x=y \) entonces \( d_f (x,y)=0 \)
si \( d_f (x,y)=0 \) para cualquier \( x\in{\mathbb{R}} \),

\( 0\leq \color{red}{\left |{f(x)-f(y)}\right |}\leq{max_{t\in R}\left|f\left(t\right)-f\left(t\right)\right|\color{black}=0} \)

Es desigualdad en rojo es falsa. Por ejemplo, prueba con \( f(x)=c \) y verás que no se cumple.

Sería cierto si pusieses:

\( \left |{f(x)-f(y)}\right |\leq max_{t,\color{red}s\color{black}\in R}\left|f\left(t\right)-f\left(\color{red}s\color{black}\right)\right| \)

Saludos.

P.D. De todas formas eso no es útil para probar que es métrica.

06 Marzo, 2022, 05:25 pm
Respuesta #5

zapayan

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Hola

Buenas amigos

Tengo el siguiente problema:

Sea \( f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}} \) una función continua y creciente (es decir, tal que \( s<t \) implica que
\( f(s)<f(t) \)), demostrar que la función definida por: \( d_f (x,y)=\left |{f(x)-f(y)}\right | \)

Es una métrica en \( \mathbb{R} \)

No se si empecé bien:
Supongamos que \( d_f \) es no negativa y simétrica, luego si \( x=y \) entonces \( d_f (x,y)=0 \)
si \( d_f (x,y)=0 \) para cualquier \( x\in{\mathbb{R}} \),

\( 0\leq{\left |{f(x)-f(y)}\right |}\leq{max_{t\in R}\left|f\left(t\right)-f\left(t\right)\right|=0} \)

De aquí según los axiomas de métrica, ni idea de como seguir.

Agradezco de antemano sus aportes.

Lo que se ha demostrar es que la función \( \mu \) es una métrica :

Dado \( f:R\rightarrow{R} \) continua y creciente y

\( \mu:R \ X \ R\rightarrow{[0,\infty)} \)

\( (x,y) \in{R^2}\rightarrow{\mu(x,y)=\left |{f(x)-f(y)}\right |} \)


Para que sea métrica ha de cumplir tres axiomas :

1) \( \mu(x,y)\geq{0}\wedge \mu(x,y)=0\Leftrightarrow{x=y} \)

2) \( \mu(x,y)=\mu(y,x) \)

3) \( \mu(x,z)\leq{\mu(x,y)+\mu(y,z)} \)

Le he puesto \( \mu \) por la razón, que únicamente después de averiguar si cumple los axiomas, se podrá en el caso de cumplirlos decir que es una métrica y denominarla \( \mu(x,y)=d_f(x,y) \)

1) axioma

\( \forall{x,y\in{R}}, \ \ \mu(x,y)=\left |{f(x)-f(y)}\right |\geq{0} \)

si \( x=y\Rightarrow{\mu(x,y)=\left |{f(x)-f(x)}\right |=0} \)

si \( x\neq y \) hay dos alternativas

A) x>y   B) x<y

Considerando A)

\( x>y\Rightarrow{f(x)-f(y)>0}\Rightarrow{\mu(x,y)=\left |{f(x)-f(y)}\right |>0} \)

Averigua para B) y saca conclusiones

Luego para los otros dos axiomas ve el aporte de Juan Pablo Sancho

Saludos

Gracias a todos, ya capte, en realidad no era muy dificil.

saludos