Autor Tema: Espacios de Hausdorff compactos.

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18 Febrero, 2022, 07:42 am
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SofiaMC

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Me ayudarían con este problema.
Sea \( (X, T) \) un espacio topológico compacto T2 y \( f : X \to X \) una función continua. Muestre que existe un conjunto cerrado no vacío \( A \subseteq X \), tal que \( f(A) = A \).

presiento que \( A \) es una intersección de sucesiones, \( A = \{f, f \circ f, f \circ f \circ f, ... \} \), pero no se como plantearlo bien.

LaTeX corregido por moderación.

18 Febrero, 2022, 11:22 am
Respuesta #1

geómetracat

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Sobre el problema, tu intuición es buena. Puedes tomar por ejemplo \[ A = \bigcap_{n=0}^\infty f^n(X) \], donde \[ f^n = \underbrace{f \circ \dots \circ f}_{n} \]. Ahora se trata de ver que este conjunto cumple todo lo que te piden. Recuerda que hay un resultado que dice que si tienes una aplicación continua \[ f:X \to Y \] donde \[ X \] es compacto e \[ Y \] es Hausdorff, entonces \[ f \] es cerrada (la imagen de un cerrado es cerrado). Aplicando esto a tu caso, tienes que \[ f^n(X) \] es cerrado para todo \[ n \], y por tanto su intersección, que es \[ A \], también es cerrado. Te dejo a ti que compruebes que \[ f(A)=A \]. Y finalmente falta ver que no es vacío, lo cual se sigue de la compacidad de \[ X \] (recuerda que una de las maneras de enunciar compacidad es que si tienes un conjunto de cerrados tales que cualquier intersección finita es no vacía, entonces la intersección de todos sigue siendo no vacía).

Añadido: No lo había pensado bien, pero diría que la parte en rojo es la más difícil. Que \[ f(A) \subseteq A \] es bastante directo. Para la inclusión contraria, toma un \[ x \in A = \bigcap_n f^n(X) \]. Entonces puedes definir para cada \[ n \] el conjunto \[ F_n = f^n(X) \cap f^{-1}(x) = \{ y \in f^n(X) \mid f(y)=x \} \], que es cerrado y no vacío. Además, se tiene que \[ F_n \supseteq F_{n+1} \]. Por el mismo argumento que prueba que \[ A \] es no vacío, tienes que \[ \bigcup_n F_n \neq \emptyset \]. Si ahora tomas \[ y \in \bigcup_n F_n \] tienes que \[ y \in A \] y \[ f(y)=x \], luego \[ x \in f(A) \].
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)