Autor Tema: ¿Por qué \([0,1]\cap \Bbb Q\) con la topología usual no es compacto?

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10 Febrero, 2022, 06:26 pm
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blnrcc

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
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Hola, me gustaría hacerles una pregunta,
¿por qué el conjunto de los números racionales en \[ [0,1] \] con la topología usual no es compacto?

10 Febrero, 2022, 06:29 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Hola, me gustaría hacerles una pregunta,
¿por qué el conjunto de los números racionales en \[ [0,1] \] con la topología usual no es compacto?

En principio porque no es cerrado. En un espacio métrico los conjuntos compactos deben ser necesariamente cerrados, y \( [0,1] \) con la función distancia dada por el valor absoluto tiene la topología heredada de la topología estándar en \( \mathbb{R} \).

10 Febrero, 2022, 09:41 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Hola, me gustaría hacerles una pregunta,
¿por qué el conjunto de los números racionales en \[ [0,1] \] con la topología usual no es compacto?

Si lo quieres probar directamente viendo que no se cumple la definición topológica de compacidad, basta dar un recubrimiento concreto por abiertos del cual no puede extraerse un recubrimiento finito.

Por ejemplo si llamas \( a=\sqrt{2}/2 \) y tomas \( U_n=\left(\left[0,a-\dfrac{1}{n+10}\right)\cup \left (a+\dfrac{1}{n+10},1\right]\right)\cap \Bbb Q \) puedes ver que los \( \{U_n\} \) son abiertos de \( [0,1]\cap \Bbb Q \) con la topología usual que lo recubren y es imposible extraer un subrecubrimiento finito.

Saludos.

10 Febrero, 2022, 09:46 pm
Respuesta #3

Juan Pablo Sancho

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También puedes ver que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n \notin [0,1] \cap \mathbb{Q}  \).
Sea \( K = \dfrac{\sqrt{2}}{2}  \) con  \( a_n = \dfrac{\lfloor 10^n \cdot K \rfloor}{10^n}  \).

Editado
Ostras tomé el mismo valor que Luis.