Autor Tema: Contraejemplo para proposición sobre espacio de Hausdorff y conjunto compacto.

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30 Enero, 2022, 02:08 am
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Hola! Tengo esta proposición que estoy casi segura que es falso. Pero no logro formular un contraejemplo.
La proposición es:
Si X un espacio de Hausdorff y un conjunto compacto \( A\subset{X}\Rightarrow{A} \) es abierto

Gracias!!

30 Enero, 2022, 03:30 am
Respuesta #1

Masacroso

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Hola! Tengo esta proposición que estoy casi segura que es falso. Pero no logro formular un contraejemplo.
La proposición es:
Si X un espacio de Hausdorff y un conjunto compacto \( A\subset{X}\Rightarrow{A} \) es abierto

Gracias!!

¿Quién es el conjunto compacto? ¿\( A \) o \( X \)? Entiendo que buscas un contraejemplo a la proposición

\( \displaystyle{
\forall A(A\subset X\implies A\text{ es abierto })
} \)

Suponiendo eso

- Si fuese \( A \) el compacto, tienes como contraejemplo \( X=\mathbb{R} \), con la topología estándar, y \( A \) cualquier subconjunto compacto de \( \mathbb{R} \).
- Si fuese \( X \) el compacto, tienes como contraejemplo a \( X=[0,1] \), con la topología estándar, y \( A=\{0\} \).

30 Enero, 2022, 11:05 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Hola! Tengo esta proposición que estoy casi segura que es falso. Pero no logro formular un contraejemplo.

De todas formas me choca un poco la dificultad en encontrar el contraejemplo y dudo si es esa la pregunta que querías practicar.

El primer espacio topológico no trivial que se estudia es la recta real con la topología usual; es Hausdorff y los compactos son los cerrados y acotados. ¿No se te ocurrió buscar ahí? ¿Qué es lo que te desconcertaba?.

Saludos.

P.D. Lo que si es cierto es que en un espacio topológico Hausdorff todo compacto es cerrado. Es un buen ejercicio que intentes probarlo.