Hola! Tengo el teorema que adjunto a continuación. Vengo a pedirles ayuda, no entiendo por qué afirma que:
1) Si \( A\subset{C}\Rightarrow{\overline{A}\subset{\overline{C}}} \). ¿Esto vale siempre? Seguro es una proposición que me está faltando.
Sí. Recuerda que \[ \overline{A} \] es el cerrado más pequeño que contiene a \[ A \]. Si \[ A \subseteq C \], tienes que \[ A \subseteq C \subseteq \overline{C} \], y como \[ \overline{C} \] es cerrado, debe ser \[ \overline{A} \subseteq \overline{C} \].
2) ¿Por qué se puede afirmar que \( \overline{C} \) y D son disjuntos?
Como \[ C,D \] forman una separación de \[ B \], tienes que \[ C \] es cerrado en \[ B \], luego \[ \overline{C} \cap B = C \] (que \[ C \] sea cerrado en \[ B \] quiere decir que hay un cerrado \[ C' \] en \[ X \] tal que \[ C' \cap B = C \], pero es fácil ver que entonces también \[ \overline{C} \cap B = C \]). Luego, \[ \overline{C} \cap D = \overline{C} \cap (D \cap B) = (\overline{C} \cap B) \cap D = C \cap D = \emptyset \], donde he usado que \[ D \subseteq B \] (luego \[ D \cap B = D \]) y que \[ C, D \] son una separación de \[ B \] (en particular, \[ C \cap D = \emptyset \]).
