Autor Tema: Demostración sobre puntos de acumulación

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25 Enero, 2022, 01:42 am
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blnrcc

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Buenas noches a todos:
Debo demostrar la siguiente proposición, y aún no logro darme cuenta cómo finalizarlo.

Siendo A y B son subconjuntos de un Espacio Topológico:
\( (A\cup{B})' = A'\cup{B'} \)

Estoy intentando demostrarlo por doble inclusión. Ya pude demostrar que \( A'\cup{B'}\subset{(A\cup{B})'} \)
Además, en el mismo ejercicio previamente, ya demostré que si \( A\subset{B} \Rightarrow{A'\subset{B'}} \) quizás eso pueda servir.
Estoy intentando de demostrar la parte que me falta por contrarrecíproco.

Gracias!

25 Enero, 2022, 08:01 am
Respuesta #1

geómetracat

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Vamos a ver que \[ (A \cup B)' \subseteq A' \cup B' \]. Sea \[ x \] un punto de acumulación de \( A \cup B \). Entonces cada entorno de \[ x \] interseca a \[ A \cup B \] en algún punto distinto de \[ x \]. Observa que no puede pasar que haya un entorno \[ U \] de \[ x \] que interseque a \[ A \] pero no a \[ B \], y otro entorno \[ V \] que interseque a \[ B \] pero no a \[ A \] (¿por qué?). Por tanto se da que o bien todo entorno corta a \( A \) o bien todo entorno corta a \[ B \], luego \[ x \in A' \] o \[ x \in B' \], es decir, \[ x \in A' \cup B' \].
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

08 Febrero, 2022, 10:53 pm
Respuesta #2

blnrcc

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Lo entendí, muchas gracias!