Autor Tema: Caracterización de conectitud por redes y sucesiones

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20 Enero, 2022, 01:02 pm
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Eparoh

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Hola a todos, he descubierto la siguiente caracterización de conectitud para espacios topológicos, la cual me parece que puede ser útil de cara a demostrar que un espacio o subespacio no es conexo:

Citar
Sea \( X \) un espacio topológico y \( C \subset X \) un subconjunto cualquiera.
Entonces, \( C \) es conexo si, y solo si, dada cualquier partición \( C_1, C_2 \) de \( C \), con \( C_1, C_2 \) no vacíos, existe una red \( \{T_d\}_{d \in D} \) contenida en uno de estos conjuntos y un punto \( x \) en el otro conjunto tal que

\( T_d \xrightarrow[d \in D]{X} x \)

Si además \( X \) es \( N_1 \), podemos sustituir las redes por sucesiones en el teorema.

Ahora, lo que me pregunto es si la condición de que el espacio sea \( N_1 \) es realmente necesaria para cambiar redes por sucesiones. La implicación de derecha a izquierda es cierta siempre para redes, por lo que busco un ejemplo de un espacio \( X \) que sea conexo, que no sea \( N_1 \) y tal que exista una partición del espacio \( X_1, X_2 \) de modo que cualquier sucesión contenida en uno de los dos no pueda converger a ningún punto de la otra.

Mi idea había sido probar tomando como espacio \( \mathbb{R} \) con la topología de los complementos finitos, pero no he llegado a nada, y la verdad, no conozco más espacios que sean conexos y no \( N_1 \).

¿Alguna idea?

Un saludo y muchas gracias por las respuestas.

20 Enero, 2022, 01:32 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Prueba con \[ \Bbb R \] con la topología de los complementos numerables. La gracia aquí es que las únicas sucesiones convergentes son las eventualmente constantes, y convergen únicamente a esa constante. Sin embargo esencialmente los mismos argumentos que para la topología de los complementos finitos muestran que este espacio es conexo y no cumple el primer axioma de numerabilidad.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

20 Enero, 2022, 03:19 pm
Respuesta #2

Eparoh

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Prueba con \[ \Bbb R \] con la topología de los complementos numerables. La gracia aquí es que las únicas sucesiones convergentes son las eventualmente constantes, y convergen únicamente a esa constante. Sin embargo esencialmente los mismos argumentos que para la topología de los complementos finitos muestran que este espacio es conexo y no cumple el primer axioma de numerabilidad.

Cierto, no había caido en esa propiedad para la convergencia de sucesiones y lo había pasado por alto porque pensé que se comportaría igual que el espacio de complementos finitos.

Muchas gracias  :laugh:

21 Enero, 2022, 12:02 am
Respuesta #3

argentinator

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Lo que pasa es que, en realidad, está usando la caracterización de clausura mediante convergencia, que para espacios topológicos requiere usar redes.
Las sucesiones son suficientes cuando el espacio es N1.