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Buenas tardes a todos!
Tengo una duda, no sé si vaya en esta categoría, pero yo lo estoy aplicando en topología:
¿en un entorno de un número racional siempre hay un irracional, verdad?
¿Y viceversa, en un entorno de un numero irracional siempre hay un racional?

Gracias!

[Luis Fuentes]

Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Buenas tardes a todos!
Tengo una duda, no sé si vaya en esta categoría, pero yo lo estoy aplicando en topología:
¿en un entorno de un número racional siempre hay un irracional, verdad?
¿Y viceversa, en un entorno de un numero irracional siempre hay un racional?

Ten en cuenta que entre:

- Entre dos racionales \( x,y \) siempre hay un racional \( (x+y)/2 \) y un irracional \( \sqrt{1/2}x+(1-\sqrt{1/2})y \).
- Entre dos irracionales \( x,y \) o un raciona y otro irracional, siempre hay un irracional \( (x+y)/2 \) y un racional:

Spoiler

Por la propiedad arquimediana de los reales, para \( n \) suficientemente grande \( |nx-ny|>1 \) y por tanto existe un entero \( k \) entre \( nx \) e \( ny \) y así \( n/k \) está entre \( x \) e \( y \).

[cerrar]

Eso prueba que en cualquier intervalo abierto y por tanto en cualquier entorno siempre hay un racional y un irracional.

Saludos.

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Muchas gracias por tu respuesta!