[MatematicaMente]

Buenas tardes,me encuentro ante el siguiente problema, pero no me convence el procedimiento que estoy haciendo. Lo dejo por aquí:
Sea \( (X,T) \) e.t. y sean \( A,B \subset{X} \), no vacíos. Demostrar que si \( M\subset{A\cap B} \) ,, M abierto de A con su topología correspondiente y M abierto de B con su topología correspondiente, entonces M es abierto en el subespacio \( A\cup B \) de (X,T).

[geómetracat]

Pon lo que has intentado y lo miramos, aunque no te convenza mucho.

De todas formas te dejo una idea:
Que \[ M \] sea abierto en \[ A \] quiere decir que existe \( U \) abierto en \[ X \] tal que \[ U \cap A = M \]. De igual manera, que \[ M \] sea abierto en \[ B \] quiere decir que existe \( V \) abierto en \[ X \] tal que \[ V \cap B = M \]. Mira a ver si a partir de \[ U,V \] puedes obtener otro abierto de \[ X \] cuya intersección con \[ A \cup B \] sea \[ M \].

[MatematicaMente]

Buenos días Geometracat, justamente eso es lo que escribí en un principio, basándome en el enunciado. Lo esencial era (corríjame si me equivoco) hallar ese abierto que llamaré W a partir de U y V.
He prodecido como sigue:

Por hipótesis sé:
\( M \in (X,T) \Rightarrow \exists U \in (X,T) ,, M=U\cap A  \)
\( M \in (X,T) \Rightarrow \exists V \in (X,T) ,, M=V\cap B \)

Quiero tener:
\( W \in (X,T),, M=W\cap (A\cup B) \)

Como \( U,V \in (X,T) \Rightarrow U\cap V \in (X,T) \).

(*)\( M=U\cap A \Rightarrow M\subset{U}, M\subset{A} \)
(**)\( M=V\cap B \Rightarrow M\subset{V}, M\subset{B} \)
Por (*)(**) se tiene que: \( M\subset{U\cap V} \in (X,T)  \) y \( M\subset{(A\cup B)} \Rightarrow M\subset{(U\cap V)} \cap (A\cup B) \).

Para demostrar el otro contenido:
\( (U\cap V)\cap(A\cup B)= ( (U\cap V)\cap A ) \cup ( (U\cap V)\cap B )= ( (U\cap A) \cap (U\cap V) ) \cup ( (U\cap V) \cap B ) \subset{M}. \)


¿Cómo lo ve? Gracias de antemano.

[geómetracat]

En general lo veo bien, aunque no me queda muy claro qué haces aquí:

Para demostrar el otro contenido:
\( (U\cap V)\cap(A\cup B)= ( (U\cap V)\cap A ) \cup ( (U\cap V)\cap B )= ( (U\cap A) \cap (U\cap V) ) \cup ( (U\cap V) \cap B ) \subset{M}. \)

Yo haría:
\( (U\cap V)\cap(A\cup B)= ( (U\cap V)\cap A ) \cup ( (U\cap V)\cap B )= ( (U\cap A) \cap V ) \cup ( (V\cap B) \cap U ) = (M \cap V) \cup (M \cap U) = M \cup M = M \),
donde en la penúltima igualdad se usa que \[ M \subseteq U \] y \[ M \subseteq V \] (y así de paso puedes hacer las dos inclusiones de una sola vez pues todo son igualdades).

Al margen de eso, no deberías escribir \[ M \in (X,T) \] porque \[ M \] no es ningún elemento del par ordenado \[ (X,T) \]. En su lugar deberías decir simplemente \[ M \subseteq X \]. De igual forma no deberías escribir \[ U \in (X,T) \] sino \[ U \in T \] o decir "\[ U \] es un abierto de \[ X \]".
Y un consejo general a la hora de escribir demostraciones es que no hay que abusar de símbolos matemáticos, es mejor escribir frases con palabras. Puede depender del contexto, pero en general es mejor decir "implica" que escribir \[ \Rightarrow \], etc.

[MatematicaMente]

Todo comprendido, tendré cuidado con  la notación, sí... Muchas gracias!