[picuartos]

Hola, buenas

Este es el enunciado de mi problema:

Sean \( k_1\;{,}k_2 \) dos operadores de kuratowski sobre \( X \) tales que \( k_1(A)\subset{k_2(A)} \) \( \forall{A}\subset{X} \). Demuestre que la topología que induce \( k_2 \) está contenida en la topología que induce \( k_1 \), es decir, \(  T(k_2)\subset{T(k_1)} \).

Entonces, yo he argumentado de la siguiente manera:
Para que \( T(k_2)\subset{T(k_1)} \) tenemos que ver que todo abierto de \( T(k_2) \) lo es también de \( T(k_1) \).

Sea \( U\in{T(k_2)} \) abierto, para ver que \( U \) es abierto de \( T(k_1) \) tenemos que ver que \( \forall{x}\in{U} \) existe \( B_1(x;\epsilon_1)\subset{U} \)

Por ser  \( U \) abierto de \( T(k_2) \) sabemos que \( \exists{B_2(x;\epsilon_2)}\subset{U} \), y como \( T(k_2) \) esta inducida por \( k_2 \) entonces \( B_2(x;\epsilon_2)\subset{k_2} \)

Además, como \( T(k_1) \) esta inducida por \( k_1 \) entonces \( B_1(x;\epsilon_1)\subset{k_1} \), pero como \( k_1(A)\subset{k_2(A)} \) entonces \( B_1(x;\epsilon_1)\subset{B_2(x;\epsilon_2)}\subset{U} \)

Por lo tanto, \( T(k_2)\subset{T(k_1)} \), que es lo que queríamos demostrar.

Lo que quería saber es si está bien la demostración y si esta bien argumentada.

[geómetracat]

No está bien.

Primero, aunque esto es un tanto anecdótico, estaría bien que aclararas un poco el contexto del ejercicio. ¿Trabajas con espacios topológicos generales, o únicamente con espacios métricos? Lo digo porque hablas de bolas que únicamente tienen sentido en espacios métricos, pero el problema es válido para espacios topológicos arbitrarios.

El fallo más importante es poner \[ B_2(x;\epsilon_2)\subset{k_2} \], cuando \[ B_2(x;\epsilon_2)\subset{k_2} \] no tiene ningún sentido porque \[ k_2 \] no es ningún subconjunto de \[ X \]. \[ k_2 \] es una aplicación que manda subconjuntos de \[ X \] a subconjuntos de \[ X \].

Para hacer el ejercicio lo que debes usar es que los cerrados de la topología definida por un operador de Kuratowski son los subconjuntos \[ A \subseteq X \] que cumplen \[ k(A)=A \]. Y por tanto, los abiertos son los complementos de estos conjuntos.

Entonces, toma un cerrado \[ A \] para la topología definida por \[ k_2 \], es decir, \[ k_2(A)=A \]. Usando la hipótesis y los axiomas de operador de Kuratowski tenemos que \[ A \subseteq k_1(A) \subseteq k_2(A)=A \], luego también \[ k_1(A)=A \]. Esto prueba que cualquier cerrado para \[ k_2 \] es también un cerrado para \[ k_1 \]. Ahora puedes acabar pasando a los complementos.

[picuartos]

Trabajo con espacio topológicos generales.
Vale, muchas gracias por la ayuda!!

[picuartos]

Pero una cosa, ¿a qué te refieres con esto?

Ahora puedes acabar pasando a los complementos.

[picuartos]

Otra cosa, como \( A \) es cerrado, entonces deber existir \( U\subset{X} \) abierto tal que \(  U\subset{A} \)
Entonces, si tomo un abierto \( U\subset{A} \) para lo topología definida por \( k_2(A) \) y como teníamos que
\(  A\subset{k_1(A)}\subset{k_2(A)}=A \)  entonces \( U\subset{k_2} \) y como luego también \( k_1(A)=A \) entonces \( U\subset{k_1(A)} \).

Y entonces, tenemos que cualquier abierto para \( k_2 \) también lo es para \( k_1 \), y por lo tanto la topología que induce \( k_2 \) está contenida en la topología que induce \( k_1 \).

¿Esto sería correcto?

[Luis Fuentes]

Hola

Otra cosa, como \( A \) es cerrado, entonces deber existir \( U\subset{X} \) abierto tal que \(  U\subset{A} \)

Ya está mal desde aquí. Estás diciendo que todo cerrado contiene un abierto, lo cuál no es cierto. Por ejemplo con la topología usual un punto es cerrado y no contiene ningún abierto.

Creo que pierdes de vista las definiciones que te dan de los conceptos que manejas y te lanzas a usar propiedades (¡erróneas!) que no se de donde salen. Quizá de una intuición mal construida sobre todo esto.

Pero una cosa, ¿a qué te refieres con esto?

Ahora puedes acabar pasando a los complementos.

Pues geómetracat ha demostrado que todo cerrado con la topología \( k_2 \) es cerrado con la topología \( k_1 \).

De ahí te falta deducir que todo abierto con la topología la topología \( k_2 \) es abierto con la topología \( k_1 \). Y es inmediato usando que los abiertos son complementarios de cerrados.

Saludos.

[picuartos]

Sí, posiblemente sea de una intuición mal construida, pero gracias, esto me ayuda a corregirla!

¿Entonces, puedo afirmar directamente que como cualquier cerrado para \( k_2 \) es también cerrado para \( k_1 \),  entonces cualquier abierto para \( k_2 \) es también abierto para \( k_1 \) por que su complementario \( X\setminus{A} \) es abierto ya que \( A \) es un conjunto cerrado si y solo si \( X\setminus{A} \) es abierto?

[Luis Fuentes]

Hola

Sí, posiblemente sea de una intuición mal construida, pero gracias, esto me ayuda a corregirla!

Mi consejo sería precisamente por eso, que de momento te ciñas mucho a las definiciones. Estas primeras propiedades topológicas son muy directas simplemente aplicando la definición; incluso aunque uno no entienda que ideas motivan toda la topología.

¿Entonces, puedo afirmar directamente que como cualquier cerrado para \( k_2 \) es también cerrado para \( k_1 \),  entonces cualquier abierto para \( k_2 \) es también abierto para \( k_1 \) por que su complementario \( X\setminus{A} \) es abierto ya que \( A \) es un conjunto cerrado si y solo si \( X\setminus{A} \) es abierto?

Escribe el razonamiento y no te quedes con dudas:

1) Sea \( U \) un abierto en \( k_2 \).
2) Entonces \( X/U \) es cerrado en \( k_2 \).
3) Usamos lo que probó geómetracat...  COMPLETA
4) Como ... COMPLETA .. entonces su complementario \( X/U \) es abierto en \( k_1 \).

Completa lo que falta.

Saludos.

[picuartos]

Vale, muchas gracias por el consejo, lo tendré muy en cuenta

1) Sea \( U \) un abierto en \( k_2 \).
2) Entonces \( X/U \) es cerrado en \( k_2 \).
3) Usamos lo que probó geómetracat, es decir,  que cualquier cerrado para \( k_2 \) es también cerrado para \( k_1 \)
4) Como \( A \) es cerrado para \( k_2 \) es también cerrado para \( k_1 \)  entonces su complementario \( X/U \) es abierto en \( k_1 \).

Muchas gracias, ya lo he entendido!

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Vale, muchas gracias por el consejo, lo tendré muy en cuenta

1) Sea \( U \) un abierto en \( k_2 \).
2) Entonces \( X/U \) es cerrado en \( k_2 \).
3) Usamos lo que probó geómetracat, es decir,  que cualquier cerrado para \( k_2 \) es también cerrado para \( k_1 \)

Bien.

4) Como \( A \) es cerrado para \( k_2 \) es también cerrado para \( k_1 \)  entonces su complementario \( X/U \) es abierto en \( k_1 \).

Sería "...como \( X/U \) es cerrado para..." y después "... entonces su complementario \( U \) es abierto en ...".

Saludos.