[MatematicaMente]

Buenas tardes, me encuentro ante el siguiente ejercicio pero no se por donde empezar.
Sea \( U \) abierto de \( (X,T) \). Probar que \( U \cap \overline{A} \subset \overline{U \cup A} \forall A \subset X \).
Dar un ejemplo en el que no se verifique la igualdad.
Probar que \( D \) denso en \( (X,T) \Rightarrow U \subset \overline{U \cap D} \) y \( \overline{U} = \overline{U \cap D} \)


Gracias de antemano.

[Samir M.]

Una pista para cada uno:

Tienes que \( U \cap \overline{A} \subset U \subset \overline{U} \) y que \( U \cap \overline{A}  \subset \overline{A} \). En general, también que \( \overline{A \cup B}=\bar{A} \cup \bar{B} \).

Para el siguiente: sea \( x \in U \). Si E es un entorno de \( x \) tenemos que \( E \cap D \neq \emptyset \) por ser D denso. Pero entonces \( E\cap U \) también es un entorno de \( x \) y así \( E \cap U \cap D \neq \emptyset \).

[manooooh]

Hola

Sea \( U \) abierto de \( (X,T) \). Probar que \( U \cap \overline{A} \subset \overline{U \cup A} \forall A \subset X \).
Dar un ejemplo en el que no se verifique la igualdad.
Probar que \( D \) denso en \( (X,T) \Rightarrow U \subset \overline{U \cap D} \) y \( \overline{U} = \overline{U \cap D} \)

Es conveniente que plantees cada problema en un hilo distinto para mantener organizado el foro.

Yo no sé sobre \( (X,T) \), pero:

(...) En general, también que \( \overline{A \cup B}=\bar{A} \cup \bar{B} \).

¿No es que la propiedad de DeMorgan asegura que, si \( A,B \) son conjuntos y \( \overline{\color{white}aa} \) indica el complemento, \( \overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B} \)?

Saludos

[Samir M.]

¿No es que la propiedad de DeMorgan asegura que, si \( A,B \) son conjuntos y \( \overline{\color{white}aa} \) indica el complemento, \( \overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B} \)?

\( \overline{A} \) es la clausura de un conjunto. Cuando dije "En general" me refería a "En general, en el espacio topológico \( (X,T) \)".

Saludos.

[MatematicaMente]

Tienes que \( U \cap \overline{A} \subset U \subset \overline{U} \) y que \( U \cap \overline{A}  \subset \overline{A} \). En general, también que \( \overline{A \cup B}=\bar{A} \cup \bar{B} \).

Fenomenal. Me faltaba la propiedad de que en un espacio topológico la intersección de la adherencia de dos subconjuntos es igual a la adherencia de la intersección de dos subconjuntos.

Para el siguiente: sea \( x \in U \). Si E es un entorno de \( x \) tenemos que \( E \cap D \neq \emptyset \) por ser D denso. Pero entonces \( E\cap U \) también es un entorno de \( x \) y así \( E \cap U \cap D \neq \emptyset \).

En cuanto al segundo apartado no lo consigo ver...
Consigo razonar que \( U \subset U \cap \overline{D} = U \cap X = U \). Y por tanto, \( \overline{U} = \overline{U \cap \overline{D}} \). Pero no salgo de ahí...

[Luis Fuentes]

Hola

En cuanto al segundo apartado no lo consigo ver...
Consigo razonar que \( U \subset U \cap \overline{D} = U \cap X = U \). Y por tanto, \( \overline{U} = \overline{U \cap \overline{D}} \). Pero no salgo de ahí...

Pero Samir ya ha razonado que \( U\subset \overline{U\cap D} \), probando que para todo \( x\in U \), todo entorno \( E \) de \( x \) corta a \( U\cap D. \)

Entonces:

\( U\subset \overline{U\cap D}\quad \Rightarrow{}\quad \bar U\subset \overline{U\cap D} \)

Por otra parte:

\( U\cap D\subset U\quad \Rightarrow{}\quad \overline{U\cap D}\subset \overline{U} \)

Saludos.