Autor Tema: Topología engendrada y dudas sobre definición de base de una topología

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13 Diciembre, 2021, 09:02 pm
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MatematicaMente

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Buenas, me encuentro ante el siguiente ejercicio:
En \( \mathbb{R^2} \), sean \( L_1 = \{r_x | x \in \mathbf{R}\}, r_x=\{(x,t) \in \mathbf{R^2} | t\in \mathbf{R}\} \) y \( L_2 = L_1 \cup S, S=\{(t,1) \in \mathbf{R^2} | t \in \mathbf{R}\} \). Denotamos \( T(L_1) \) y \(  (L_2) \) a las topologías engendradas por \( L_1 \) y \( L_2 \) respectivamente.
Dado \( A=\{(x,y) \in \mathbf{R^2}| 1 \leq x \leq 2, 1 \leq y \leq 2\} \). Hallar el interior y la adherencia de A en \( (\mathbf{R^2},T(L_1)) \) y en \( (\mathbf{R^2},T(L_2)) \).
Lo primero que quiero ver es cómo son los abiertos y los cerrados de cada topología. Para ver como son los abiertos utilizo la base dada puesto que todo abierto se puede escribir como unión de elementos de la base. Sin embargo, me he encontrado con dificultades a la hora de usar la siguiente definición de base de una topología:
''Sea B base de T, entonces \( \forall A \in T  \exists B_A \subset{B} , A = \cup_{B \in B_A} B \)''

(Me lía ese subconjunto \( B_A \))

Y por otra parte, me he encontrado con dificultades a la hora de ver cómo son los conjuntos abiertos y cerrados.
Aún así, mi respuesta para la primera topología:

Los abiertos de \( T(L_1) \) son de la forma \( G = \cup_{B \in L_1}B = \cup r_x, t,x \in \mathbf{R} \).
Y los cerrados de \( T(L_1) \) son de la forma \( C= \mathbf{R^2}-r_x \).
Entonces: \( \mathring{A}=\emptyset, adh(A)=\mathbf{R^2} - \cup r_x,  x,t \in (- \infty, 1) \cup (2, \infty) \)


Si alguien es tan amable de corregirme.

13 Diciembre, 2021, 09:27 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Buenas, me encuentro ante el siguiente ejercicio:
En \( \mathbb{R^2} \), sean \( L_1 = \{r_x | x \in \mathbf{R}\}, r_x=\{(x,t) \in \mathbf{R^2} | t\in \mathbf{R}\} \) y \( L_2 = L_1 \cup S, S=\{(t,1) \in \mathbf{R^2} | t \in \mathbf{R}\} \). Denotamos \( T(L_1) \) y \(  (L_2) \) a las topologías engendradas por \( L_1 \) y \( L_2 \) respectivamente.
Dado \( A=\{(x,y) \in \mathbf{R^2}| 1 \leq x \leq 2, 1 \leq y \leq 2\} \). Hallar el interior y la adherencia de A en \( (\mathbf{R^2},T(L_1)) \) y en \( (\mathbf{R^2},T(L_2)) \).
Lo primero que quiero ver es cómo son los abiertos y los cerrados de cada topología. Para ver como son los abiertos utilizo la base dada puesto que todo abierto se puede escribir como unión de elementos de la base. Sin embargo, me he encontrado con dificultades a la hora de usar la siguiente definición de base de una topología:
''Sea B base de T, entonces \( \forall A \in T  \exists B_A \subset{B} , A = \cup_{B \in B_A} B \)''

Ahí lo único que dice es que todo abierto de la topología es unión de abiertos básicos. \( B_A \) es lo que usa para denotar la subfamilia de abiertos básicos cuya unión es \( A \).

Citar
Los abiertos de \( T(L_1) \) son de la forma \( G = \cup_{B \in L_1}B = \cup r_x, t,x \in \mathbf{R} \).
Y los cerrados de \( T(L_1) \) son de la forma \( C= \mathbf{R^2}-r_x \).
Entonces: \( \mathring{A}=\emptyset, adh(A)=\mathbf{R^2} - \cup r_x,  x,t \in (- \infty, 1) \cup (2, \infty) \)

Está bien. Coloquialmente: los abiertos de la topología son uniones de rectas verticales. Los cerrados complementarios de uniones de rectas verticales...¡pero es que tales complementarios son también uniones de rectas verticales!. Es decir los abiertos y cerrados son los mismos.

La adherencia que pones está bien, pero la puedes escribir como:

\( [1,2]\times \Bbb R \)

Saludos.

14 Diciembre, 2021, 10:49 am
Respuesta #2

MatematicaMente

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Muchas gracias, entendido.
Me queda una última duda...sea la adherencia \( \left[1,2\right]  \) x  \( \mathbf{R} \), esta se ha obtenido quitando al total \( \mathbf{R^2} \), la unión de abiertos \( \cup r_x \) tales que (y aquí está mi duda) \( x,t \notin \left[1,2\right] \). ¿Es legal restringir los valores de x y t al intervalo que deseemos? ¿si lo es, esta unión siga siendo un abierto? ¿O la restricción debe ser obligatoriamente en intervalos abiertos para que la unión sea un abierto?

Gracias

14 Diciembre, 2021, 11:01 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Me queda una última duda...sea la adherencia \( \left[1,2\right]  \) x  \( \mathbf{R} \), esta se ha obtenido quitando al total \( \mathbf{R^2} \), la unión de abiertos \( \cup r_x \) tales que (y aquí está mi duda) \( x,t \notin \left[1,2\right] \). ¿Es legal restringir los valores de x y t al intervalo que deseemos?

No soy capaz de encontrar un sentido a esa pregunta. No sé que significado das a "legal".

En realidad para comprobar si efectivamente un conjunto es la adherencia de otra has de preguntarte dos cosas (independientemente de como has llegado a él):

- Si la adherencia propuesta es un cerrado.
- Si es el menor cerrado que contiene al conjunto inicial.

Citar
¿si lo es, esta unión siga siendo un abierto?

La unión arbitraria de abiertos es abierta. Pero no estoy seguro de lo que me estás preguntando.

Citar
¿O la restricción debe ser obligatoriamente en intervalos abiertos para que la unión sea un abierto?

¿Pero qué restricción?. No acabo de entenderte.

El resumen de la cuestión es:

- Con la topología dada los abiertos son uniones arbitrarias de rectas verticales, es decir conjuntos de la forma:

\( C\times \Bbb R \) para cualquier \( C\subset \Bbb R \)

- Los cerrados son complementarios de tales conjuntos. Pero es que resulta que:

\( \Bbb R^2-C\times \Bbb R=(\Bbb R-C)\times \Bbb R \) para cualquier \( C\subset \Bbb R \)

por tanto llamando \( C'=\Bbb R-C \) los cerrados son los mismos que los abiertos.

- Por lo anterior si un cerrado contiene al punto \( (x,y) \) necesariamente contiene a la recta \( \{x\}\times \Bbb R. \)

- Por tanto todo cerrado que contenga a \( [1,2]\times  [1,2] \) necesariamente contiene al conjunto de rectas \( [1,2]\times \Bbb R \). Como tal conjunto de rectas es cerrado, ese es el menor cerrado que contiene a \( [1,2]\times  [1,2] \) y por tanto es su adherencia.

Saludos.

14 Diciembre, 2021, 11:34 am
Respuesta #4

MatematicaMente

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No soy capaz de encontrar un sentido a esa pregunta. No sé que significado das a "legal".

En realidad para comprobar si efectivamente un conjunto es la adherencia de otra has de preguntarte dos cosas (independientemente de como has llegado a él):

- Si la adherencia propuesta es un cerrado.
- Si es el menor cerrado que contiene al conjunto inicial.

Entiendo...
Explico lo que quería decir: mi intención es construir la adherencia (que como usted dice es cerrada) quitándole a espacio total (el cual es cerrado además de abierto) un abierto tal que eso de lugar a un cerrado. (Primera condición) ENTENDIDO

El problema lo encuentro al especificar qué valores de x y t deben tomar las rectas de la unión, pues no quiero quitar por ejemplo toda la recta vertical \( x=1 \), sino sólo \( \{(x,y) = (1,y) : 1 \leq y \leq 2 \} \).



14 Diciembre, 2021, 11:59 am
Respuesta #5

MatematicaMente

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Dado que en esta topología el conjunto de abiertos coincide con el conjunto de cerrados las únicas posibilidades son que nos encontramos en la topología trivial o la discreta, ¿no? ¿Podríamos decir que estamos en la topología discreta e este caso?

14 Diciembre, 2021, 01:20 pm
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

Dado que en esta topología el conjunto de abiertos coincide con el conjunto de cerrados las únicas posibilidades son que nos encontramos en la topología trivial o la discreta, ¿no? ¿Podríamos decir que estamos en la topología discreta e este caso?

No es cierto que si cerrados y abiertos coinciden, necesariamente sea la topología trivial o discreta. Dada cualquier partición \( \{A_i\}_{i\in I} \) de un conjunto \( X \) la familia de conjuntos uniones arbitrarias de los \( A_i \) define una topología donde abiertos y cerrados coinciden. Y recíprocamente cualquier topología con los mismos abiertos que cerrados definen una partición mediante la relación de equivalencia:

\( xRy \) si y sólo si \( \overline{\{x\}}=\overline{\{y\}} \)

de manera que los abiertos de la topología son precisamente uniones arbitrarias de las clases de la relación.