Autor Tema: Equivalencia de pseudométricas

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09 Diciembre, 2021, 09:42 pm
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picuartos

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Hola, buenas!
¿Cómo podría demostrar que la equivalencia de pseudométricas implica equivalencia topológica?
El problema es que no se cómo empezar la demostración, y tampoco tengo una noción muy amplia de la equivalencia de pseudométricas, entonces estoy un poco perdida.
He pensado en utilizar esta definición de pseudométricas  topológicamente equivalentes:

Diremos que dos pseudométricas d1 y d2 sobre un mismo conjunto X son topológicamente equivalentes si inducen la misma topología sobre dicho conjunto, es decir, si T(d1)=T(d2)

pero tampoco se muy bien como.

Muchas gracias de antemano a quien me conteste!

09 Diciembre, 2021, 10:09 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola, buenas!
¿Cómo podría demostrar que la equivalencia de pseudométricas implica equivalencia topológica?
El problema es que no se cómo empezar la demostración, y tampoco tengo una noción muy amplia de la equivalencia de pseudométricas, entonces estoy un poco perdida.
He pensado en utilizar esta definición de pseudométricas  topológicamente equivalentes:

Diremos que dos pseudométricas d1 y d2 sobre un mismo conjunto X son topológicamente equivalentes si inducen la misma topología sobre dicho conjunto, es decir, si T(d1)=T(d2)

El significado de la equivalencia topológica es claro: que ambas definan la misma topología.

Pero lo que tienes que aclarar es que a que estás llamando pseudométricas equivalentes. No estoy 100% seguro de que definición manejas. Si por ejemplo se refiere a que existan constantes \( a,b \) tales que:

\( ad_1(x,y)\leq d_2(x,y)<bd_1(x,y) \)

Basta que pruebes entonces que toda bola abierta con una topología contiene una bola abierta de la otra en el mismo centro. En particular:

\( B_2((x,y),ar)\subset B_1((x,y),r) \)
\( B_1((x,y),r/b)\subset B_2((x,y),r) \)

Saludos.

11 Diciembre, 2021, 11:50 am
Respuesta #2

picuartos

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Gracias!

Lo que tenía que demostrar era que la equivalencia de pseudométricas implica equivalencia topológica, es decir que:

\( \forall{\epsilon_1}>0 \) \( \exists{\epsilon_2}>0 \) tal que \( \forall{x}\in{X} \) se tiene que \( B_2(x,\epsilon_2)\subset{B_1(x;\epsilon1)} \)

\( \forall{\epsilon_2}>0 \) \(  \exists{\epsilon_1}>0 \) tal que \( \forall{x}\in{X} \) se tiene que \( B_1(x;\epsilon_1)\subset{B_2(x;\epsilon_2)} \)

implica que

\( \forall{x}\in{X} \) y \( \forall{\epsilon_1}>0 \), \( \exists{\epsilon_2}>0 \) tal que \( B_2(x;\epsilon_2)\subset{B_1(x;\epsilon_1)} \)
\( \forall{x}\in{X} \) y \( \forall{\epsilon_2}>0 \), \( \exists{\epsilon_1}>0 \) tal que \( B_1(x;\epsilon_1)\subset{B_2(x;\epsilon_2)} \)

yo lo he razonado de la siguiente manera, no se si me podrías decir si es correcto:

Si \( d_1 \) y \( d_2 \) son pseudométrica equivalentes sobre \( X \) se tiene que:

\( \forall{}\epsilon_1 >0 \) \( \exists{}\epsilon_2>0 \) tal que \( \forall{x}\in{X} \) se tiene que \( B_2(x;\epsilon_2)\subset{B_1(x;\epsilon_1)} \), es decir, que \( B_1(x;\epsilon_1) \) es un entorno de \( B_2(x;\epsilon_2) \).
Que \( B_1(x;\epsilon_1) \) sea entorno de \( B_2(x;\epsilon_2) \) implica que \( B_1(x;\epsilon_1) \) sea entorno de\(  x \) en \( (X,d_1) \) lo que a su vez implica que \( B1(x;\epsilon1)\in{T(d1)}=T(d2) \)

\( \forall{\epsilon_2}>0 \) \( \exists{\epsilon_1}>0 \) tal que \( \forall{x}\in{X} \) se tiene que \( B_1(x;\epsilon_1)\subset{B_2(x;\epsilon_2)} \), es decir, que \( B_2(x;\epsilon_2) \) es un entorno de \( B_1(x;\epsilon_1) \).
Que \( B_2(x;\epsilon_2) \) sea entorno de \( B_1(x;\epsilon_1) \) implica que \( B_2(x;\epsilon_2) \) sea entorno de \( x \) en \( (x,d_2) \) lo que a su vez implica que \( B_2(x;\epsilon_2)\in{T(d_2)}=T(d_1) \)

Por lo tanto, la equivalencia de pseudométricas implica equivalencia topológica, que es lo que queríamos demostrar.

Mensaje corregido desde la administración.

Para poner subíndices utiliza la barra baja. Por ejemplo: [tex]\epsilon_1[/tex] obteniendo \( \epsilon_1 \).

11 Diciembre, 2021, 02:05 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

 No es que esté mal la idea de lo que pones. Pero creo que te lías.

 Entiendo que esto es la definición que te han dado de pseudométricas equivalentes:

\( \forall{\epsilon_1}>0 \) \( \exists{\epsilon_2}>0 \) tal que \( \forall{x}\in{X} \) se tiene que \( B_2(x,\epsilon_2)\subset{B_1(x;\epsilon1)} \)

\( \forall{\epsilon_2}>0 \) \(  \exists{\epsilon_1}>0 \) tal que \( \forall{x}\in{X} \) se tiene que \( B_1(x;\epsilon_1)\subset{B_2(x;\epsilon_2)} \)

 ¿De acuerdo?. Y esto otro la de topologías equivalentes:

Citar
\( \forall{x}\in{X} \) y \( \forall{\epsilon_1}>0 \), \( \exists{\epsilon_2}>0 \) tal que \( B_2(x;\epsilon_2)\subset{B_1(x;\epsilon_1)} \)
\( \forall{x}\in{X} \) y \( \forall{\epsilon_2}>0 \), \( \exists{\epsilon_1}>0 \) tal que \( B_1(x;\epsilon_1)\subset{B_2(x;\epsilon_2)} \)

 ¿De acuerdo?

 Entonces lo que debes de probar es que lo primero implica lo segundo.

 Pero tu parece más bien preocuparte de demostrar usando lo primero, que las dos métricas definen la misma topología porque tienen los mismos entornos; esa idea sería buena, porque precisamente topología equivalente es que definen la misma topología. Pero entonces no sigues el camino que has marcado previamente; no te limitas a demostrar la segunda definición que has escrito arriba.

 Además luego tienes alguna imprecisión:

Citar
Si \( d_1 \) y \( d_2 \) son pseudométrica equivalentes sobre \( X \) se tiene que:

\( \forall{}\epsilon_1 >0 \) \( \exists{}\epsilon_2>0 \) tal que \( \forall{x}\in{X} \) se tiene que \( B_2(x;\epsilon_2)\subset{B_1(x;\epsilon_1)} \), es decir, que \( B_1(x;\epsilon_1) \) es un entorno de \( B_2(x;\epsilon_2) \).
Que \( B_1(x;\epsilon_1) \) sea entorno de \( B_2(x;\epsilon_2) \) implica que \( B_1(x;\epsilon_1) \) sea entorno de\(  x \) en \( (X,d_1) \) lo que a su vez implica que \( B1(x;\epsilon1)\in{T(d1)}=T(d2) \)

 Lo que está en rojo no está bien escrito. Lo que tendrías es que \( B_1(x,\epsilon_1) \) es un entorno de \( x \) con la topología \( T(d_2) \) y por tanto \( T(d_1)\subset T(d_2) \).

 Volviendo al principio si simplemente queremos probar la segunda definición a partir de la primera, para demostrar:

\( \forall{x}\in{X} \) y \( \forall{\epsilon_1}>0 \), \( \exists{\epsilon_2}>0 \) tal que \( B_2(x;\epsilon_2)\subset{B_1(x;\epsilon_1)} \)

 tomamos un \( \epsilon_1>0 \) y un \( x \) cualquiera y usamos esta hipótesis:

\( \forall{\epsilon_1}>0 \) \( \exists{\epsilon_2}>0 \) tal que \( \forall{x}\in{X} \) se tiene que \( B_2(x,\epsilon_2)\subset{B_1(x;\epsilon1)} \)

 que aplicada para el \( x \) fijado previamente nos permite afirmar que \( B_2(x,\epsilon_2)\subset{B_1(x;\epsilon1)} \), que es lo que queríamos.

Saludos.

11 Diciembre, 2021, 04:16 pm
Respuesta #4

picuartos

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Correcto, entonces si arreglo lo que esta escrito en rojo quedaría de la siguiente manera la demostración:

Supongamos que \( d_1 \) y \( d_2 \) son pseudométrica equivalentes sobre \( X \) entonces tienen que cumplir:

(1) \( \forall{}\epsilon_1 >0 \) \( \exists{}\epsilon_2>0 \) tal que \( \forall{x}\in{X} \) se tiene que \( B_2(x;\epsilon_2)\subset{B_1(x;\epsilon_1)} \), es decir, que \( B_1(x;\epsilon_1) \) es un entorno de \( B_2(x;\epsilon_2) \).
Pero que  \( B_1(x;\epsilon_1) \) sea entorno de \( B_2(x;\epsilon_2) \) implica que \( B_1(x;\epsilon_1) \) sea entorno de \( x \) con topología \( T(d_2) \) y por tanto \( T(d_1)\subset{T(d_2)} \)

(2) \( \forall{\epsilon_2}>0 \) \( \exists{\epsilon_1}>0 \) tal que \( \forall{x}\in{X} \) se tiene que \( B_1(x;\epsilon_1)\subset{B_2(x;\epsilon_2)} \), es decir, que \( B_2(x;\epsilon_2) \) es un entorno de \( B_1(x;\epsilon_1) \).
Pero que \( B_2(x;\epsilon_2) \) sea entorno de \( B_1(x;\epsilon_1) \) implica que \( B_2(x;\epsilon_2) \) sea entorno de \( x \) con topología \( T(d_1) \) y por tanto \( T(d_2)\subset{T(d_1)} \)

Entonces, se tiene que necesariamente para que (1) y (2) se cumplan \( d_1 \) y \( d_2 \) definen la misma topología, es decir, que  \( T(d1)=T(d2) \) y por lo tanto que dos pseudométricas sean equivalentes implica que son topologicamente equivalentes.





11 Diciembre, 2021, 11:48 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Supongamos que \( d_1 \) y \( d_2 \) son pseudométrica equivalentes sobre \( X \) entonces tienen que cumplir:

(1) \( \forall{}\epsilon_1 >0 \) \( \exists{}\epsilon_2>0 \) tal que \( \forall{x}\in{X} \) se tiene que \( B_2(x;\epsilon_2)\subset{B_1(x;\epsilon_1)} \), es decir, que \( B_1(x;\epsilon_1) \) es un entorno de \( B_2(x;\epsilon_2) \).
Pero que  \( B_1(x;\epsilon_1) \) sea entorno de \( B_2(x;\epsilon_2) \) implica que \( B_1(x;\epsilon_1) \) sea entorno de \( x \) con topología \( T(d_2) \) y por tanto \( T(d_1)\subset{T(d_2)} \)

(2) \( \forall{\epsilon_2}>0 \) \( \exists{\epsilon_1}>0 \) tal que \( \forall{x}\in{X} \) se tiene que \( B_1(x;\epsilon_1)\subset{B_2(x;\epsilon_2)} \), es decir, que \( B_2(x;\epsilon_2) \) es un entorno de \( B_1(x;\epsilon_1) \).
Pero que \( B_2(x;\epsilon_2) \) sea entorno de \( B_1(x;\epsilon_1) \) implica que \( B_2(x;\epsilon_2) \) sea entorno de \( x \) con topología \( T(d_1) \) y por tanto \( T(d_2)\subset{T(d_1)} \)

Entonces, se tiene que necesariamente para que (1) y (2) se cumplan \( d_1 \) y \( d_2 \) definen la misma topología, es decir, que  \( T(d1)=T(d2) \) y por lo tanto que dos pseudométricas sean equivalentes implica que son topologicamente equivalentes.

 Así estaría bien; pero aún queda el otro matriz que te comentaba. Ahí no has usado para nada esta caracterización/definición de topológicamente equivalentes:

\( \forall{x}\in{X} \) y \( \forall{\epsilon_1}>0 \), \( \exists{\epsilon_2}>0 \) tal que \( B_2(x;\epsilon_2)\subset{B_1(x;\epsilon_1)} \)
\( \forall{x}\in{X} \) y \( \forall{\epsilon_2}>0 \), \( \exists{\epsilon_1}>0 \) tal que \( B_1(x;\epsilon_1)\subset{B_2(x;\epsilon_2)} \)

 Sino que directamente estás usando que dos métricas con topológicamente equivalentes si definen la misma topología.

 Entonces si no lo usas es desconcertante que lo cites previamente como si fuese la definición de equivalencia topológica que vas a usar.
 
 Hago hincapié en esto porque no se si esconde algún tipo de confusión al respecto.

Saludos.

20 Diciembre, 2021, 04:17 pm
Respuesta #6

picuartos

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Hola,

Esa definición de pseudométricas equivalentes la puse asi en un principio porque mi intención era utilizar esa, pero mi problema radica en que no se como y esto no lo entiendo bien:

tomamos un \( \epsilon_1>0 \) y un \( x \) cualquiera y usamos esta hipótesis:

\( \forall{\epsilon_1}>0 \) \( \exists{\epsilon_2}>0 \) tal que \( \forall{x}\in{X} \) se tiene que \( B_2(x,\epsilon_2)\subset{B_1(x;\epsilon1)} \)

 que aplicada para el \( x \) fijado previamente nos permite afirmar que \( B_2(x,\epsilon_2)\subset{B_1(x;\epsilon1)} \), que es lo que queríamos.

me refiero a que no entiendo porque simplemente tomando \( \epsilon_1>0 \) y un \( x \) basta para probar lo que quería. Porque en un principio también lo pensé asi pero sigo sin tenerlo muy claro, entonces me confunde.


Además hay otra cosa que no entiendo de aquí:
Supongamos que \( d_1 \) y \( d_2 \) son pseudométrica equivalentes sobre \( X \) entonces tienen que cumplir:

(1) \( \forall{}\epsilon_1 >0 \) \( \exists{}\epsilon_2>0 \) tal que \( \forall{x}\in{X} \) se tiene que \( B_2(x;\epsilon_2)\subset{B_1(x;\epsilon_1)} \), es decir, que \( B_1(x;\epsilon_1) \) es un entorno de \( B_2(x;\epsilon_2) \).
Pero que  \( B_1(x;\epsilon_1) \) sea entorno de \( B_2(x;\epsilon_2) \) implica que \( B_1(x;\epsilon_1) \) sea entorno de \( x \) con topología \( T(d_2) \) y por tanto \( T(d_1)\subset{T(d_2)} \).


Como \( B_1(x;\epsilon_1) \) es un entorno de \( B_2(x;\epsilon_2) \) entonces tenemos que \( B_1(x;\epsilon_1) \) sea entorno de \( x \) con topología \( T(d_2) \), esta parte si que la entiendo bien pero no entiendo porque \( T(d_1)\subset{T(d_2)} \), si \( B_2(x;\epsilon_2)\subset{B_1(x;\epsilon_1)} \), entiendo que fuera al reves, es decir, \( T(d_2)\subset{T(d_1)} \) , pero lo anterior no lo veo claro.

Un saludo, y muchas gracias por responderme

20 Diciembre, 2021, 11:09 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

me refiero a que no entiendo porque simplemente tomando \( \epsilon_1>0 \) y un \( x \) basta para probar lo que quería. Porque en un principio también lo pensé asi pero sigo sin tenerlo muy claro, entonces me confunde.

Es importante que digas explícitamente a que te estás refiriendo con lo que quería. Digo esto porque como te comentaba anteriormente has aludido a una caracterización de topologías equivalentes, que luego no usas.

Entonces entiendo que por "lo que quería" te refieres a esta definición de topologías equivalentes:

(*) \( \forall{x}\in{X} \) y \( \forall{\epsilon_1}>0 \), \( \exists{\epsilon_2}>0 \) tal que \( B_2(x;\epsilon_2)\subset{B_1(x;\epsilon_1)} \)
\( \forall{x}\in{X} \) y \( \forall{\epsilon_2}>0 \), \( \exists{\epsilon_1}>0 \) tal que \( B_1(x;\epsilon_1)\subset{B_2(x;\epsilon_2)} \)

 En concreto a la parte AZUL. Queremos probar eso usando que:

(**) \( \forall{\epsilon_1}>0 \) \( \exists{\epsilon_2}>0 \) tal que \( \forall{x}\in{X} \) se tiene que \( B_2(x,\epsilon_2)\subset{B_1(x;\epsilon1)} \)

 Para probar (*) tomamos un \( x\in X \) y un \( \epsilon_1>0 \) cualquiera; por (**) existe un \( \epsilon_2>0 \) tal que para todo \( x\in X \) (en particular para el que elegimos antes) \( B_2(x,\epsilon_2)\subset{B_1(x;\epsilon1)} \)

 ¡Es justo lo que queríamos probar (es decir (**))!.

Citar
Además hay otra cosa que no entiendo de aquí:
Supongamos que \( d_1 \) y \( d_2 \) son pseudométrica equivalentes sobre \( X \) entonces tienen que cumplir:

(1) \( \forall{}\epsilon_1 >0 \) \( \exists{}\epsilon_2>0 \) tal que \( \forall{x}\in{X} \) se tiene que \( B_2(x;\epsilon_2)\subset{B_1(x;\epsilon_1)} \), es decir, que \( B_1(x;\epsilon_1) \) es un entorno de \( B_2(x;\epsilon_2) \).
Pero que  \( B_1(x;\epsilon_1) \) sea entorno de \( B_2(x;\epsilon_2) \) implica que \( B_1(x;\epsilon_1) \) sea entorno de \( x \) con topología \( T(d_2) \) y por tanto \( T(d_1)\subset{T(d_2)} \).


Como \( B_1(x;\epsilon_1) \) es un entorno de \( B_2(x;\epsilon_2) \) entonces tenemos que \( B_1(x;\epsilon_1) \) sea entorno de \( x \) con topología \( T(d_2) \), esta parte si que la entiendo bien pero no entiendo porque \( T(d_1)\subset{T(d_2)} \), si \( B_2(x;\epsilon_2)\subset{B_1(x;\epsilon_1)} \), entiendo que fuera al reves, es decir, \( T(d_2)\subset{T(d_1)} \) , pero lo anterior no lo veo claro.

Para que \( T(d_1)\subset{T(d_2)} \) tenemos que ver que todo abierto de \( T(d_1) \) lo es también de \( T(d_2) \).

Sea \( U\in T(d_1) \). Para ver que es abierto de \( T(d_2) \) tenemos que ver que para todo \( x\in U \) existe \( B_2(x,r)\subset U \).

Ahora por ser abierto en \( T(d_1) \) sabemos que existe \( B_1(x,\epsilon_1)\subset U \). Pero por lo que he marcado en verde, existe \( \epsilon_2 \) tal que: \( B_2(x;\epsilon_2)\subset{B_1(x;\epsilon_1)}\subset U \), es decir, tomando \( r=\epsilon 2 \), \( B_2(x,r)\subset U \).

Saludos.


03 Enero, 2022, 02:34 am
Respuesta #8

picuartos

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Vale, muchas gracias!! ya lo he entendido