Autor Tema: Compacidad de la adherencia

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22 Noviembre, 2021, 01:55 pm
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serviraalgunnombre

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Buenas, he estado buscando por el foro y no he encontrado nada similar

Tengo el siguiente enunciado:

Dar un ejemplo no trivial de un subconjunto, A, de un espacio topológico tal que A sea compacto y su adherencia no lo sea

No encuentro nisiquiera un ejemplo trivial. Me han dicho que debe cumplirse para espacios que no sea de Hausdorff (?)

Gracias!!

22 Noviembre, 2021, 03:04 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Cualquier contraejemplo tiene que ser con un espacio que no sea Hausdorff, pues si el espacio es Hausdorff todo compacto es cerrado.

Para tu contraejemplo, piensa por ejemplo en un conjunto infinito \[ X \] con un punto distinguido \[ x \in X \] y considera la topología en que los abiertos son \[ \emptyset, X \] y todos los conjuntos que contienen a \[ x \].
Entonces \[ \{ x \} \] es compacto, pero su clausura (que es \[ X \], todo el espacio) no lo es.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)