Autor Tema: Homeomorfismos Recta de Sorgenfrey

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18 Noviembre, 2021, 02:38 pm
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Erika

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Buenos días. Estoy necesitando demostrar que un intervalo de la forma \( [a,b) \) es homeomorfo a \( \Bbb R \) con la topología de Sorgenfrey.
Se me ocurre demostrar que \( (a,b) \) es homeomorfo a  \( \Bbb R \) y luego que \( [a,b) \) es homeomorfo a \( (a,b) \), pero no encuentro un homeomorfismo entre estos últimos intervalos.
¿Me ayudarían por favor?

18 Noviembre, 2021, 04:40 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Buenos días. Estoy necesitando demostrar que un intervalo de la forma \( [a,b) \) es homeomorfo a \( \Bbb R \) con la topología de Sorgenfrey.
Se me ocurre demostrar que \( (a,b) \) es homeomorfo a  \( \Bbb R \) y luego que \( [a,b) \) es homeomorfo a \( (a,b) \), pero no encuentro un homeomorfismo entre estos últimos intervalos.
¿Me ayudarían por favor?

 Ten en cuenta que \( \Bbb R \) se puede poner como unión disjunta de una cantidad numerable intervalos \( I_n=[n,n+1) \) con \( n\in \Bbb Z \).

 Por otra parte \( [a,b) \), si consideras una sucesión creciente \( a_n \) con \( a_1=a \), y \( \{a_n\}\to b \), lo puedes poner como una cantidad numerable de intervalos \( J_k=[a_k,a_{k+1}) \) con \( k\in \Bbb N \).

 Entonces define una biyección \( g:\Bbb Z\to \Bbb N \) y a partir de ahí:

\( f:\Bbb R\to [a,b) \)

 como:

 si \( x\in I_n \) entonces \( f(x)\in J_{g(n)} \) con \( f(x)=a_{g(n)}+(x-n)(a_{g(n)+1}-a_{g(n)}) \)

 Comprueba que \( f \) es el homeomorfismo que buscas.

Saludos.

18 Noviembre, 2021, 11:17 pm
Respuesta #2

Erika

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Muchísimas gracias!
Honestamente, nunca se me hubiera ocurrido trabajar con una función así.. Estaba explorando funciones más sencillas.
Te agradezco nuevamente por tu respuesta!