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tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.
Buenos días. Estoy necesitando demostrar que un intervalo de la forma \( [a,b) \) es homeomorfo a \( \Bbb R \) con la topología de Sorgenfrey.
Se me ocurre demostrar que \( (a,b) \) es homeomorfo a \( \Bbb R \) y luego que \( [a,b) \) es homeomorfo a \( (a,b) \), pero no encuentro un homeomorfismo entre estos últimos intervalos.
¿Me ayudarían por favor?
Ten en cuenta que \( \Bbb R \) se puede poner como unión disjunta de una cantidad numerable intervalos \( I_n=[n,n+1) \) con \( n\in \Bbb Z \).
Por otra parte \( [a,b) \), si consideras una sucesión creciente \( a_n \) con \( a_1=a \), y \( \{a_n\}\to b \), lo puedes poner como una cantidad numerable de intervalos \( J_k=[a_k,a_{k+1}) \) con \( k\in \Bbb N \).
Entonces define una biyección \( g:\Bbb Z\to \Bbb N \) y a partir de ahí:
\( f:\Bbb R\to [a,b) \)
como:
si \( x\in I_n \) entonces \( f(x)\in J_{g(n)} \) con \( f(x)=a_{g(n)}+(x-n)(a_{g(n)+1}-a_{g(n)}) \)
Comprueba que \( f \) es el homeomorfismo que buscas.
Saludos.
