Autor Tema: Suma de compactos

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12 Noviembre, 2021, 06:32 pm
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armando.unica

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Hola, si alguien pudiera ayudarme con este problema por favor

Sea \( E \) un espacio normado, y sean \( K,L \subset E \) compactos. Demostrar que \( K+L:=\left\{{x+y:x\in K, y \in L}\right\} \) tambien es compacto

12 Noviembre, 2021, 06:40 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola, si alguien pudiera ayudarme con este problema por favor

Sea \( E \) un espacio normado, y sean \( K,L \subset E \) compactos. Demostrar que \( K+L:=\left\{{x+y:x\in K, y \in L}\right\} \) tambien es compacto

Puedes usar que:

1) la aplicación suma \( s:E\times E\to E\qquad s(x,y)=s+y \) es continua.
2) el producto \( K\times L \) de compactos es compacto.
3) la imagen continua de un compacto \( s(K\times L) \) es compacta.

Otra opción es seguir las mismas ideas de aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=106309.msg418934#msg418934

Saludos.

12 Noviembre, 2021, 06:41 pm
Respuesta #2

Fernando Revilla

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Sea \( E \) un espacio normado, y sean \( K,L \subset E \) compactos. Demostrar que \( K+L:=\left\{{x+y:x\in K, y \in L}\right\} \) tambien es compacto

Como \( K \) y \( L \) son compactos, también lo es \( K\times L \). Entonces, la aplicación \( f:K\times L \to K+L \) dada por \( f(x,y)=x+y \) es continua, con lo cual \( K+L=\text{Im }f \) es compacto por ser imagen continua de un compacto.

P.D. Luis "desenfundó" con mayor celeridad.