Autor Tema: Espacio métrico completo

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09 Noviembre, 2021, 01:24 am
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alumnolibre

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Hola, alguien podria ayudarme con este problema, se que deberia demostrar que una sucesion de Cauchy sea convergente en \(  X \) para que sea completo pero no entiendo como aplicarlo

Sea \( (X,d) \) un espacio metrico, sea \( p\in X \) y sea la correspondiente metrica \( d_p(x,y):=d(x,p)+d(p,y) \), demostrar que \( (X,d_p) \) es completo

09 Noviembre, 2021, 08:45 am
Respuesta #1

martiniano

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Hola.

Fíjate que si tomas una sucesión de Cauchy en \[ (X, d_p)  \] entonces para todo \[ \epsilon>0 \] existe \[ N \] tal que si \[ m, n>N \] entonces \[ d_p(x_n, x_m)<\epsilon  \]. Entonces, si la sucesión no es constante salvo un número finito de términos se podrán tomar \[ m, n \] tales que \[ x_m\neq x_n \], por lo que, como \[ d_p(x_n, p)=d(x_n, p) \leq{}d(x_n, p)+d(x_m, p) =d_p(x_n, x_m)
 <\epsilon  \] entonces \[ x_n \] converge a \[ p \].

Por otro lado, si la sucesión es constante salvo un número finito de términos, entonces existe \[ N \] tal que para todo \[ n>N \] es \[ x_n=k \], de donde \[ d(x_n, k) =0<\epsilon \] y por ello también converge.

Un saludo.

09 Noviembre, 2021, 11:45 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Fíjate que si tomas una sucesión de Cauchy en \[ (X, d_p)  \] entonces para todo \[ \epsilon>0 \] existe \[ N \] tal que si \[ m, n>N \] entonces \[ d_p(x_n, x_m)=d(x_n, p) +d(x_m, p) <\epsilon  \]. Como \[ d_p(x_n, p)=d(x_n, p) \leq{}d(x_n, p)+d(x_m, p)
 <\epsilon  \] entonces \[ x_n \] converge a \[ p \].

De acuerdo. Queda el caso particular de que que la sucesión sea constante salvo un número finito de términos, en cuyo caso la convergencia sería al punto que se repite infinitamente.

En la definición de la métrica, obviamente, hay que indicar que si \( x=y \) la distancia es nula.

Saludos.

09 Noviembre, 2021, 01:39 pm
Respuesta #3

martiniano

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Hola.

Hola

Fíjate que si tomas una sucesión de Cauchy en \[ (X, d_p)  \] entonces para todo \[ \epsilon>0 \] existe \[ N \] tal que si \[ m, n>N \] entonces \[ d_p(x_n, x_m)=d(x_n, p) +d(x_m, p) <\epsilon  \]. Como \[ d_p(x_n, p)=d(x_n, p) \leq{}d(x_n, p)+d(x_m, p)
 <\epsilon  \] entonces \[ x_n \] converge a \[ p \].

De acuerdo. Queda el caso particular de que que la sucesión sea constante salvo un número finito de términos, en cuyo caso la convergencia sería al punto que se repite infinitamente.

En la definición de la métrica, obviamente, hay que indicar que si \( x=y \) la distancia es nula.

¡Cierto! Gracias. Creo que ya lo he arreglado. Lo único, que no sé si la redacción ha quedado lo suficientemente clara. Cualquier cosa me decís.

Saludos.

10 Noviembre, 2021, 02:42 am
Respuesta #4

alumnolibre

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Gracias me ayudo mucho, solo tengo una duda con las expresiones  de "si la sucesión no es constante salvo un número finito..." por que se hace esta aclaración??

10 Noviembre, 2021, 10:42 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Gracias me ayudo mucho, solo tengo una duda con las expresiones  de "si la sucesión no es constante salvo un número finito..." por que se hace esta aclaración??

Preciso un poco más la idea de martiniano.

Por ser de Cauchy para todo \( \epsilon>0 \) existe un \( n_0 \) tal que si \( n,m>n_0 \) entonces \( d_p(x_n,x_m)<\epsilon \) (*).

- Ahora si para cada \( n \) existe un \( m>n \) tal que \( x_m\neq x_n \) podemos demostrar que \( \{x_n\}\to p \) (**).

Efectivamente dado \( \epsilon>0 \) si \( n>n_0 \) existe (por (*))  \( n_0 \) y \( m>n \) con \( x_m\neq x_n \) (por **) tal que si \( m>n>n_0   \) entonces  \( d_p(x_n,x_m)<\epsilon \).

Por ser \( x_n\neq x_m \) (y es clave esto para la igualdad en rojo):

\( \epsilon>d_p(x_n,x_m)\color{red}=\color{black}d(x_n,p)+d(x_m,p)\geq d(x_n,p) \)

y por tanto  \( \{x_n\}\to p \).

- Si para cada \( n \) NO existe un \( m>n \) tal que \( x_m\neq x_n \), quiere decir que a partir de un cierto \( n_0 \) todos los \( x_m \) con \( m>n_0 \) son iguales a \( x_{n_0}. \) Es decir la sucesión se vuelve constante. Por tanto converge a esa constante.

Spoiler
Algo así: \( 12,4,2,3,7,-12,4,5,5,5,5,5,5,5,5,\ldots \)
[cerrar]

Saludos.