Autor Tema: Pregunta 1 Espacios métricos completos

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07 Noviembre, 2021, 03:41 am
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nico

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Hola me piden demostrar el siguiente resultado.
¿Qué condición debe cumplir una función para llevar sucesiones de Cauchy en sucesiones de Cauchy?
Me piden probarlo.

Para mi f debería ser un homeomorfismo.

¿Qué opinan?


07 Noviembre, 2021, 10:22 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola me piden demostrar el siguiente resultado.
¿Qué condición debe cumplir una función para llevar sucesiones de Cauchy en sucesiones de Cauchy?
Me piden probarlo.

Para mi f debería ser un homeomorfismo.

No. Por ejemplo \( f:(0,1)\to (0,+\infty),\quad f(x)=1/x \) es un homeomorfismo. Sin embargo si tomas \( a_n=1/n \) es de Cauchy pero \( f(a_n)=n \) No es de Cauchy.

Analiza que ocurre si \( f \) es uniformemente continua.

Saludos.

07 Noviembre, 2021, 10:58 am
Respuesta #2

nico

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Hola Luis ¿ cómo estás?

Siguiendo tu sugerencia, intenté esta demostración:

Sea \( (x_n)_{n \in{}\mathbb{N}} \) una sucesión de Cauchy definida en el espacio dado \( X \), como \( f:X\rightarrow{}Y \) es uniformemente continua se tiene que \( \forall{} \epsilon>0 \) \( \exists{} n_o \)  tal que \( \forall{}n , m \geq{}n_0 \)  \( \left |{x_m - x_n} \right |<\delta \) \( \Rightarrow{}\left |{f(x_m) -f(x_n)}\right |<\epsilon \) quedando probado lo pedido.

¿A ver que te parece esta demostración?

07 Noviembre, 2021, 11:36 am
Respuesta #3

Fernando Revilla

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    • Fernando Revilla
Sea \( (x_n)_{n \in{}\mathbb{N}} \) una sucesión de Cauchy definida en el spacio dado \( X \), como \( f:X\rightarrow{}Y \) es uniformemente continua se tiene que \( \forall{} \epsilon>0 \) \( \exists{} n_o \)  tal que \( \forall{}n , m \geq{}n_0 \)  \( \left |{x_m - x_n} \right |<\delta \) \( \Rightarrow{}\left |{f(x_m) -f(x_n)}\right |<\epsilon \) quedando probado lo pedido.¿A ver que te parece esta demostración?

Creo que lo entiendes pero en tu redacción parecen estar "escondidos" los papeles de \( \epsilon \) y \( \delta \). Una opción:

Sea \( \epsilon > 0 \). Como \( f:X\rightarrow Y \) es uniformemente continua, existe \( \delta >0 \) tal que \( \left |{f(x)-f(y)}\right |< \epsilon \) si \( \left |{x-y}\right | < \delta \). Sea \( (x_n) \) una sucesión de Cauchy definida en el espacio dado \( X \). Entonces, existe \( n_0 \) tal que si \( m,n\ge n_0 \) se verifica \( \left |{x_m-x_n}\right | < \delta \), con lo cual \( \left |f(x_m)-f(x_n)\right | < \epsilon \), lo cual implica que \( (f(x_n)) \) es de Cauchy.

07 Noviembre, 2021, 02:03 pm
Respuesta #4

nico

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Hola Fernando, claro lo escribí al revés.
Bárbaro.

Muchas gracias.
Saludos