Autor Tema: Teorema 1 sobre función continua

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05 Noviembre, 2021, 12:19 am
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nico

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Hola a todos, tengo que demostrar este teorema, he venido buscando información pero no encontré nada por el momento.

\( f:X\rightarrow{}Y \) es continua \( \Leftrightarrow{} \forall{} \) \( V \in{}\tau_Y \) se tiene que \( f^{-1}(F) \) es cerrado en \( (X,\tau_X) \) para cada cerrado \( F \) en \( (Y,\tau_Y) \)


05 Noviembre, 2021, 01:01 am
Respuesta #1

Masacroso

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Hola a todos, tengo que demostrar este teorema, he venido buscando información pero no encontré nada por el momento.

\( f:X\rightarrow{}Y \) es continua \( \Leftrightarrow{} \forall{} \) \( V \in{}\tau_Y \) se tiene que \( f^{-1}(F) \) es cerrado en \( (X,\tau_X) \) para cada cerrado \( F \) en \( (Y,\tau_Y) \)



Pista: si \( A \) es un conjunto abierto (en una topología cualquiera) entonces, por definición, \( A^\complement  \) es cerrado, y viceversa. Ahora recuerda la definición de función continua entre espacios topológicos.

Nota: el teorema citado está mal redactado, la parte de \( \forall V\in \tau _Y \) sobra, es decir, lo que seguramente te están pidiendo demostrar es que

\( \displaystyle{
f:X\to Y\text{ es continua }\iff \text{ para todo conjunto cerrado }F\subset Y\text{ se tiene que }f^{-1}(F)\text{  es cerrado }
} \)

05 Noviembre, 2021, 08:01 pm
Respuesta #2

nico

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Hola muchas gracias, perdón por duplicar el tema, no me di cuenta realmente.

Estoy pensando en la demostración y en cuanto la concluya la comparto para saber sus opiniones.

Saludos

07 Noviembre, 2021, 02:53 am
Respuesta #3

nico

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Hola, subo una posible demostración, agradezco sus comentarios:

\( (\Rightarrow{}) \)
\( F \) cerrado\( \Rightarrow{}F^c \) es abierto, como \( f \) es continua \( \Rightarrow{}f^{-1}(F^c) \) es abierto.
 \( \Rightarrow{}f^{-1}(F^c)^c = f^{-1}(F) \) es cerrado.

Recíproco.
\( \forall{} F \) cerrado, \( F^{-1}(F) \) es cerrado \( \Rightarrow{}f^{-1}(F^c)\Rightarrow{} f \) es continua.

Agradezco sugerencias.

Saludos

07 Noviembre, 2021, 03:47 am
Respuesta #4

Masacroso

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Hola, subo una posible demostración, agradezco sus comentarios:

\( (\Rightarrow{}) \)
\( F \) cerrado\( \Rightarrow{}F^c \) es abierto, como \( f \) es continua \( \Rightarrow{}f^{-1}(F^c) \) es abierto.
 \( \Rightarrow{}f^{-1}(F^c)^c = f^{-1}(F) \) es cerrado.

Recíproco.
\( \forall{} F \) cerrado, \( F^{-1}(F) \) es cerrado \( \Rightarrow{}f^{-1}(F^c)\Rightarrow{} f \) es continua.

Agradezco sugerencias.

Saludos


Está bien, especialmente la primera parte, aunque la segunda parte (el recíproco) es algo confuso como está escrito pero se entiende la idea. Sería: si para cada \( A \) cerrado tienes que \( f^{-1}(A) \) es también cerrado, y como \( f^{-1}(A^\complement )=(f^{-1}(A))^\complement  \) para cualquier función, entonces eso significa que si

\( \displaystyle{
(A\text{ cerrado }\implies f^{-1}(A^\complement )\text{ es abierto })\,\land\, (A\text{ es cerrado }\iff A^\complement \text{ es abierto })
} \)

entonces

\( \displaystyle{
A^\complement \text{ abierto }\implies f^{-1}(A^\complement )\text{ es abierto }
} \)

Por tanto \( f \) es continua.∎

07 Noviembre, 2021, 03:49 am
Respuesta #5

nico

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Hola, muchas gracias por tu pronta respuesta.
Te agradezco mucho tu ayuda.

Saludos