Autor Tema: Punto en adherencia implica sucesión convergente. Al revés NO.

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05 Noviembre, 2021, 08:25 pm
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nico

  • $$\Large \color{#c88359}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
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Hola a todos, me piden demostrar el siguiente resultado:
Si una sucesión cuyo recorrido se encuentra en un conjunto \( A \), entonces si converge a un punto \( x \), \( x\in{}\bar{A} \)

Demostración:
Sea \( U\in{}N_x \) y \( (a_n)_{n\in{}\mathbb{N}} \subset{}A \) tal que \( a_n\rightarrow{}x \)
Por definición \( \exists{} n_0 \) tal que \( a_n \in{}U_x  \forall{} n \geq{}n_o \) en particular
\( a_{n_0} \in{} A  \cap{}U_x\neq\emptyset \) \( \forall{}U_x\in{N_x} \) \( \Rightarrow{}x\in{\bar{A}} \)

Ahora me preguntan ¿vale el recíproco?
En este caso no encuentro ejemplos o contrajemplos.

Agradecería de sus comentarios y aportes tanto en la demostración como en el recíproco.

Saludos

05 Noviembre, 2021, 08:36 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Hola a todos, me piden demostrar el siguiente resultado:
Si una sucesión cuyo recorrido se encuentra en un conjunto \( A \), entonces si converge a un punto \( x \), \( x\in{}\bar{A} \)

Demostración:
Sea \( U\in{}N_x \) y \( (a_n)_{n\in{}\mathbb{N}} \subset{}A \) tal que \( a_n\rightarrow{}x \)
Por definición \( \exists{} n_0 \) tal que \( a_n \in{}U_x  \forall{} n \geq{}n_o \) en particular
\( a_{n_0} \in{} A  \cap{}U_x\neq\emptyset \) \( \forall{}U_x\in{N_x} \) \( \Rightarrow{}x\in{\bar{A}} \)

Esta bien. Quizá la escritura de la última línea no es la más afortunada porque parece que es el mismo \( a_{n_0} \) para cualquier \( U_x\in N_x \). Estaría mejor poner para todo \( U_x\in N_x \) existe una \( a_{n_0} \in{} A  \cap{}U_x \) bla bla

Citar
Ahora me preguntan ¿vale el recíproco?
En este caso no encuentro ejemplos o contrajemplos.

Considera el \( \Bbb R \) donde los abiertos con complementarios de conjuntos numerables, el vacío y el total.

Las únicas sucesiones convergentes son las constantes salvo un número finito de términos (piensa porqué).

Luego comprueba que \( \overline{(0,1)}=\Bbb R \) pero no hay ninguna secuencia en \( (0,1) \) convergente a ningún punto fuera del propio conjunto.

Saludos.

05 Noviembre, 2021, 10:17 pm
Respuesta #2

nico

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Hola Luis perfecto a ver si entendí, considero la topología de los complementos numerables, que como tu me dijiste sus abiertos son conjuntos con complemento numerable.
Ahora en cuanto a por qué la únicas sucesiones convergentes son las constantes no estoy muy seguro, pero creo que tiene que ver con que son las únicas en que sus imágenes caen dentro de un abierto cuyo complemento es finito.

Luego no entendía bien lo de la clausura de (0,1) igual a \( \mathbb{R} \)

Saludos