Hola, subo una posible demostración, agradezco sus comentarios:
\( (\Rightarrow{}) \)
\( F \) cerrado\( \Rightarrow{}F^c \) es abierto, como \( f \) es continua \( \Rightarrow{}f^{-1}(F^c) \) es abierto.
\( \Rightarrow{}f^{-1}(F^c)^c = f^{-1}(F) \) es cerrado.
Recíproco.
\( \forall{} F \) cerrado, \( F^{-1}(F) \) es cerrado \( \Rightarrow{}f^{-1}(F^c)\Rightarrow{} f \) es continua.
Agradezco sugerencias.
Saludos
Está bien, especialmente la primera parte, aunque la segunda parte (el recíproco) es algo confuso como está escrito pero se entiende la idea. Sería: si para cada \( A \) cerrado tienes que \( f^{-1}(A) \) es también cerrado, y como \( f^{-1}(A^\complement )=(f^{-1}(A))^\complement \) para cualquier función, entonces eso significa que si
\( \displaystyle{
(A\text{ cerrado }\implies f^{-1}(A^\complement )\text{ es abierto })\,\land\, (A\text{ es cerrado }\iff A^\complement \text{ es abierto })
} \)
entonces
\( \displaystyle{
A^\complement \text{ abierto }\implies f^{-1}(A^\complement )\text{ es abierto }
} \)
Por tanto \( f \) es continua.∎
