[ACAA]

Hola, mi profesor me dejo realizar 5 cinco ejercicios sobre demostrar uniones e intersecciones generalizadas, de los cuales ya resolví tres, sin embargo necesito ayuda con el ejercicio d) de la imagen


\begin{equation}
Para\, cada\, n \in \mathbb{N}\, sea\,X_n = \left\{{X^2 + Y^2 \leq{\displaystyle\frac{1}{n^2}}}\right\}
Demostrar \,La\,Unión\, \cup{X_n} \,Y\,la \,Intersección \cap{X_n}
\end{equation}

[delmar]

Hola ACAA

Bienvenido al foro

Es conveniente que antes de postear leas las reglas del foro, los enunciados se digitan y las fórmulas se escriben en LATEX y muy conveniente es que muestres lo que has hecho para resolver el problema, asi las cosas salen mejor

Respecto al problema \( \left\{{X_n}\right\} \wedge X_n=\left\{{(x,y) \ / \ x^2+y^2\leq{\displaystyle\frac{1}{n^2}}}, \  \ n\in{N} \right\} \) determinar \( \cup{X_n}, \ \cap{X_n}, \ \ n\in{N} \)

Observa que \( X_n \) constituye un círculo de radio \( \displaystyle\frac{1}{n} \) en otras palabras esa familia de conjuntos es como una sucesión de círculos cuyos radios son \( \displaystyle\frac{1}{n} \), todos esos círculos están centrados en el origen y son de radio estrictamente decreciente, en consecuencia \( X_1 \) incluye a todos los demás, la reunión de todos ellos será \( X_1 \)

¿Cuál será el único conjunto de puntos incluido por la familia \( \left\{{X_n}\right\} \)? ¿Algún punto \( (x,y)\neq (0,0) \) pertenece a la intersección de todos esos conjuntos?¿Por qué? Saca tus conclusiones

Saludos

[ACAA]

Hola, entiendo tu mensaje, sin embargo, hay cosas que aún no me quedan claras con el demostrar La unión y la intersección de
\begin{equation}X_n\end{equation}
. Comenzaré: Sé que la unión de
\begin{equation}X_n\end{equation}
 es la circunferencia de radio 1. Sin embargo, cuando trato de demostrar dicha afirmación me encuentro con lo siguiente:
\begin{equation}Sea\,(x,y)\,\in\,\cup{X_n}\,entonces\, por\,definición\,de\,unión\,arbitraria\,\exists\,n\,\in\,\mathbb{N},\;tal\;que,\;(x,y)\,\in\,X_n\,donde,\;X_n=\left\{{X^2+Y2\leq{\displaystyle\frac{1}{n^2}}}\right\}\end{equation}
Y apartir de ahí, ya no se me ocurre nada que hacer. Analogamente, para la intersección sé que es vacía, puesto que no puede existir la circunferencia de radio cero porque no está definida, pero, tampoco sé como demostrarlo.

[Juan Pablo Sancho]

Pero en la unión tienes que todos los subconjuntos están incluidos en \( x^2+y^2 \leq 1  \).
Para la intersección tienes que por muy pequeño que sea el radio \( (0,0) \) cumple algo.

[ACAA]

Eso es lo que tengo que demostrar, que la unión es el circulo de radio uno, pero no sé como demostrarlo

[Juan Pablo Sancho]

Pero si \( x^2+y^2 = r^2 < 1^2 = 1  \) tenemos que \( (x,y) \in \{(z,y) \in \mathbb{R}^2 | z^2 + y ^2 \leq 1 \}  \)
Si tienes más dudas pregunta.

[ACAA]

Lo que llevo es:
\begin{equation}Sea\,(x,y)\,\in\,\cup{X_n}\,entonces\, por\,definición\,de\,unión\,arbitraria\,\exists\,n\,\in\,\mathbb{N},\;tal\;que,\;(x,y)\,\in\,X_n\,donde,\;X_n=\left\{{X^2+Y2\leq{\displaystyle\frac{1}{n^2}}}\right\}\end{equation}
Entonces, lo que no entieno es, como pasar de \begin{equation}X_n\end{equation} a \begin{equation}X_1\end{equation} donde
\begin{equation}X_1=\left\{{X^2 + Y^2\leq{1}}\right\}\end{equation}

Para así demostrara que \begin{equation}X_n \subseteq{X_1}\end{equation}

[Juan Pablo Sancho]

Sea \( (x,y) \) verificando que \(  x^2+ y^2 = \dfrac{1}{n^2}  \) lo más grande que puede ser \( \dfrac{1}{n^2} = 1   \)
 
 Entonces si \( (x,y) \in \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2 + y^2 \leq r^2 < 1 \} \) entonces \(  (x,y) \in \{(z,t) \in \mathbb{R}^2 |z^2 + y^2 \leq 1 \}  \).
 Si tienes un punto que está en el disco de radio \( r < 1  \) centrado en el origen seguro que está en el disco de radio \( 1 \).

[ACAA]

Perfecto. Ahora mi pregunta como hago para demostrara que la intersección arbitraria de dicho conjunto es vacía, ya lo intente de manera directa, pero el problema viene cuando doy un elemento en la intersección y no se como hacer llegar ese elemento al vacío, y creo que no se puede por obvias razones. Después lo intenté por reducción al absurdo: Esto quiere decir que supongo que la intersección no es vacía, y por ende Existe un elemento en la intersección, pero ahí es cuando me trabo, porque obtengo esto. 

\begin{equation}
P.D. \cap{X_n} = \emptyset\;\;voy\, a\, suponer \,que \,intersección \,no\, es \,vacía\,, es decir, \, \exists\, (x,y)\; \in\, \cap{X_n}\;\;entonces, (x,y)\;\in\;\;\left\{{X^2+Y^2\leq{\displaystyle\frac{1}{n^2}}}\right\}
\end{equation}

Y a partir de ahí no se que hacer porque se supone que ya hay un elemente en Xn, lo cual es una contradicción, pero no sé si lo hice bien.

[Juan Pablo Sancho]

delmar te puso una idea y puse la misma , que pasa con \(  (0,0) \) en la intersección , en que momento no esta en la intersección.