Autor Tema: Seno del topólogo

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

04 Noviembre, 2021, 04:58 pm
Respuesta #10

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 50,743
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Hola

Hola Luis en en cuanto a la última pregunta que no es cerrado, eso ¿es en el (0,0)? O ¿ porque no es compacto por punto límite en ese punto?
Mas concretamente ¿por qué no es cerrado?

No tienen que ver con el \( (0,0) \). Lo que pasa es que hay puntos de adherencia que no pertencen al conjunto. Por ejemplo el punto \( (0,1) \) no está en el conjunto, pero es límite de los puntos:

\( \left\{(a_n,sin(1/a_n))\right\} \) con \( a_n=\dfrac{2}{\pi(2n+1)}
 \)

Citar
Otra cosa que no entendí es por que  en la última parte de la demostración de Fernando en lugar de \( t_n \) ¿no deberá escribirse \( a_n \)? No entendí de donde sale la sucesión \( t_n \)

No sé; deberías de revisarla de nuevo. No tiene ningún sentido que pienses que es la sucesión enteros \( a_n \). Esta es una sucesión que tiende a infinito; lo que tienes que tomar es una sucesión de puntos \( t_n \) convergente a \( 0 \) de manera que sobre esos puntos \( x(t_n)=2/(\pi a_n) \) para que a su vez \( sin(x(t_n))=\pm 1 \).

Piénsalo y si todavía no lo entiendes vuelve a preguntar. Intenta detallar tu punto de vista.

Saludos.

05 Noviembre, 2021, 12:06 am
Respuesta #11

nico

  • $$\Large \color{#c88359}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 534
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Perfecto, me va quedando más clara la idea. La sigo mirando y cualquier cosa te pregunto.
Muchas gracias Luis.

Saludos

05 Noviembre, 2021, 08:27 pm
Respuesta #12

nico

  • $$\Large \color{#c88359}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 534
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola Luis, viste que tal como me definí la función, la variable x está entre 0 y 1, con lo cual el conjunto S es cerrado y acotado, esto entonces por el teorema de Heinne Borell hace que S sea compacto.

Saludos :)

05 Noviembre, 2021, 08:39 pm
Respuesta #13

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 50,743
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Hola

Hola Luis, viste que tal como me definí la función, la variable x está entre 0 y 1,

Eso no tiene nada que ver. Entiendo que has definido \( S \) como la imagen de la curva \( \alpha(t) \). Si es así entonces el punto \( (x,y)=(0,1) \) está en la adherencia pero no en el conjunto.

En otro caso aclara exactamente de que conjunto estamos hablando, cómo estás definiendo \( S \).

Saludos.

05 Noviembre, 2021, 09:46 pm
Respuesta #14

nico

  • $$\Large \color{#c88359}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 534
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Luis el conjunto es la clausura de S que está acotada y es cerrada.
No se si se entiende.

05 Noviembre, 2021, 10:23 pm
Respuesta #15

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 50,743
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Hola

Luis el conjunto es la clausura de S que está acotada y es cerrada.
No se si se entiende.

¡Ah!. ¡Acabáramos!. Si el conjunto es la CLAUSURA...¡claro qué es cerrada!¡por definición!. Y si, acotada. Entonces si es compacto.

Saludos.

05 Noviembre, 2021, 11:52 pm
Respuesta #16

nico

  • $$\Large \color{#c88359}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 534
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Perfecto.

Muchas gracias Luis... :aplauso:

07 Noviembre, 2021, 02:07 pm
Respuesta #17

nico

  • $$\Large \color{#c88359}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 534
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola Luis prosiguiendo con este problema, me surgió la dudas de si es completo o no.
Aquí tendría que metrizar el espacio, pero no se me ocurre algo.
¿Alguna idea?
0 ¿será complejizar el problema?


07 Noviembre, 2021, 02:30 pm
Respuesta #18

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 50,743
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Hola

Hola Luis prosiguiendo con este problema, me surgió la dudas de si es completo o no.
Aquí tendría que metrizar el espacio, pero no se me ocurre algo.
¿Alguna idea?
0 ¿será complejizar el problema?

Lo natural es que consideres la métrica usual de \( \Bbb R^2 \) restringida a la curva. En ese caso como \( \Bbb R^2 \) (con la métrica usual) es completo, un subespacio del mismo es completo si y sólo si es cerrado. Como el conjunto con el que tratamos es cerrado, pues es completo con la métrica restringida.

Si tomases otra métrica incluso manteniendo la misma topología, puedes podría no ser completo.

Saludos.

07 Noviembre, 2021, 07:50 pm
Respuesta #19

nico

  • $$\Large \color{#c88359}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 534
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Impecable Luis.
Muchas gracias.

Saludos