Autor Tema: Seno del topólogo

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02 Noviembre, 2021, 12:39 am
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nico

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Hola a todos, estoy pensando en una demostración de que la curva seno del topólogo no es un conjunto arconenxo.

Primero que nada me defino la función \( \alpha:[0,1]\longrightarrow{}\overline{S} \) ; \( \alpha(t)=(x(t) , y(t)) \) , siendo \( \alpha(t)=(x(t) , sen(\displaystyle\frac{1}{x(t)})) \)
donde \( \alpha(0)=(0,0) \) y \( \alpha(1)=(1,sen(1)) \) probemos que (0,0) no está conectado con \( (1,sen(1)) \)

Voy a estudiar la continuidad de cada función componente de la función \( \alpha \)

El conjunto de los \( t \) para los cuales \( \alpha(t)\in{}[-1,1] \) es cerrado y por lo tanto \( \exists{} Sup\{t:\alpha(t)=0\} \)
Considerando el teorema de pasaje considero la sucesión \( t_n \) en donde \( x(t_n)\rightarrow{}0 \) para \( n\rightarrow{\infty} \)
Que sucede ahora con la otra componente. Observemos que \( -1\leq{}sen(\displaystyle\frac{1}{x(t_n)})\leq{}1 \) observemos que \( 0<\forall{\epsilon}<\displaystyle\frac{1}{2} \) tenemos que a partir de un cierto \( n\geq{}n_0 \) , podemos considerar que \( y(t_n)=(-1)^n \) que si \( n  \) es par \( y(t_n)=(-1)^n \) \( y(t_n)= 1 > \displaystyle\frac{1}{2} \) y si \( n \) es impar \( y(t_n)=-1>\displaystyle\frac{1}{2} \) lo que demuestra claramente que la función \( t_n \) no converge. Luego la función \( \alpha \) no es arcoconexa.
Escucho sus sugerencias.
Saludos

02 Noviembre, 2021, 01:04 am
Respuesta #1

argentinator

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Estás usando notación que está fuera de contexto, así que no se entiende del todo.

No está claro por qué esa hipotética función \(x(t)\) tiene que valer 1 en \(x=1\).
Quizás tendrías que aclararlo previamente.

\(t_n\) no es una función.

A lo mejor te querías referir a que la sucesión \(y(t_n)\) no converge.

La función \(\alpha\) no puede calificarse como "arco-conexa", porque no tiene sentido.
Lo que es arco-conexo o no es la "traza" de la función \(\alpha\), vale decir, el conjunto: \(C=\alpha([0,1])\).

Para poder afirmar que \(\alpha^{-1}([-1,1])\) es un conjunto cerrado, has de asumir primero que \(\alpha\) es continua, o sea que previamente hay que decir que es un camino entre un par de puntos dados.

Falta prolijidad en general.

La notación \(0<\forall \epsilon < \dfrac12\) no tiene sentido.

A pesar de todo, parece que las ideas están bien encaminadas.

La contradicción que estás buscando debiera concluir que: \(\alpha\) no es un camino entre \((0,0)\) y \((1,sen(1))\).

02 Noviembre, 2021, 09:42 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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02 Noviembre, 2021, 01:07 pm
Respuesta #3

nico

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Hola Argentinator y Luis Fuentes. Muchas gracias por sus sugerencias y aportes.
Argentinator: Entonces lo que tengo que hacer es probar que \( \alpha \) no es continua en (0,0) ¿pero como lo estudio? Lo que me ha ocurrido es que he visto muchas formar de demostrarlo y me mareo un poco.
Mi idea era la de probar que a medida que la sucesión \( x(t_n) \) converge a cero, la sucesión \( y(t_n) \) oscila y por eso la función \( \alpha \) no es continua en (0,0).
Pero no supe como escribir la idea mejor.
Sigo trabajando.

Luis voy a mirar tu aporte en el enlace que me adjuntaste.

Un gran saludo

03 Noviembre, 2021, 06:13 am
Respuesta #4

nico

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Hola Luis y Argentinator, estoy leyendo desde hace un rato la demostración de Fernando de la no conexidad por caminos de la curva del seno del topólogo, y la verdad no la entiendo mucho. Agradecería si alguno de ustedes pude comentarla.
¿Por que considera un supremo M? Cuando dice "elijamos ahora para cada n un entero \( a_n \) esta parte no la entiendo.

Agradezco sus comentarios.

Saludos

03 Noviembre, 2021, 09:34 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Hola Luis y Argentinator, estoy leyendo desde hace un rato la demostración de Fernando de la no conexidad por caminos de la curva del seno del topólogo, y la verdad no la entiendo mucho. Agradecería si alguno de ustedes pude comentarla.
¿Por que considera un supremo M?

Eso es una cuestión técnica. El camino parte del punto  \( (0,0) \). El problema es que en cuanto sale de ese punto no hay manera de hacerlo de manera continua, porque "pegado" a el aparece la curva oscilante \( sin(1/x) \) que sube y baja entre \( -1 \) y \( 1 \) infinitas veces en puntos tan próximos como queramos al \( x=0 \).

Entonces pudiera ser que el camino se mantuviese constante en cero "al principio", para algunos valores de \( t \). Entonces toma ese supremo para empezar a trabajar con el camino desde el punto en el que va a empezar a ser problemática su continuidad: cuando abandona el origen.

Citar
Cuando dice "elijamos ahora para cada n un entero \( a_n \) esta parte no la entiendo.

Una vez que ha modificado el camino quedándose con su recorrido desde \( M \) y trasládandolo para que empiece en \( 0 \), la idea es construir una sucesión \( \{t_n\}\to 0  \) pero tal que \( \gamma(t_n)\not\to\gamma(0)=(0,0) \).

Se va a poder hacer porque \( sin(1/x) \) toma valores iguales a \( \pm 1 \) en cualquier punto tal que \( x=\dfrac{k\pi}{2} \) con \( k \) entero impar (en la prueba de Fernando hay que añadir que los \( a_n \) hay que elegirlos impares).

Con estas ideas, vuelve a leer la prueba y pregunta las dudas.

Saludos.

03 Noviembre, 2021, 11:19 am
Respuesta #6

Fernando Revilla

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(en la prueba de Fernando hay que añadir que los \( a_n \) hay que elegirlos impares).

Cierto Luis. Ya está corregido.

Gracias.

04 Noviembre, 2021, 02:43 am
Respuesta #7

nico

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Hola muchas gracias a los tres. Ahora si me quedó mas clara la idea cual sería.
Otras consultas sobre este mismo problema.

1) Es conexo pero no es conexo por caminos( quedó probado)

2) ¿Cuáles serían las componentes conexas?
Como la clausura de la curva es conexa esa sería la mayor componente conexa que contiene a todo punto del espacio. Pero si escribo S como la unión de los conjuntos \( \{y\times{}[-1,1]\}\cup{}\{x\times{}sen(\displaystyle\frac{1}{x})\}-\{(0,0\} \) ahí habría una disconexión entre los dos subconjuntos y las componentes conexas serían \( C_x=\{x \times{} sen(\frac{1}{x})\} \) y \( C_y=\{y\times{}[-1,1]\} \)
¿Está bien esto?

3) ¿Es localmente conexo?
Acá pienso en lo siguiente:
Considero \( x_o \) fijo donde \( (x_o , sen(\displaystyle\frac{1}{x}) \in{} \bar{S} \)
Sea \( B(x_0,\displaystyle\frac{\epsilon}{n}) \) tal que \( B(x_0,\displaystyle\frac{\epsilon}{n})\cap{}\bar{S}\neq\emptyset \) entonces no es posible obtener una base de entornos conexos finita, por lo que no es localmente conexo.
¿Está bien esto?

4) En cuanto a la compacidad, ¿puede estudiarse si el espacio es compacto?

Agradezco sus comentarios y ayuda.

Saludos


04 Noviembre, 2021, 12:33 pm
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

Hola muchas gracias a los tres. Ahora si me quedó mas clara la idea cual sería.
Otras consultas sobre este mismo problema.

1) Es conexo pero no es conexo por caminos( quedó probado)

2) ¿Cuáles serían las componentes conexas?
Como la clausura de la curva es conexa esa sería la mayor componente conexa que contiene a todo punto del espacio. Pero si escribo S como la unión de los conjuntos \( \{y\times{}[-1,1]\}\cup{}\{x\times{}sen(\displaystyle\frac{1}{x})\}-\{(0,0\} \) ahí habría una disconexión entre los dos subconjuntos y las componentes conexas serían \( C_x=\{x \times{} sen(\frac{1}{x})\} \) y \( C_y=\{y\times{}[-1,1]\} \)
¿Está bien esto?

Pero si es conexo, directamente la única componente conexa es el propio conjunto.

Citar
3) ¿Es localmente conexo?
Acá pienso en lo siguiente:
Considero \( x_o \) fijo donde \( (x_o , sen(\displaystyle\frac{1}{x}) \in{} \bar{S} \)
Sea \( B(x_0,\displaystyle\frac{\epsilon}{n}) \) tal que \( B(x_0,\displaystyle\frac{\epsilon}{n})\cap{}\bar{S}\neq\emptyset \) entonces no es posible obtener una base de entornos conexos finita, por lo que no es localmente conexo.
¿Está bien esto?

Está bien si justificas porqué esta intersección no es conexa.


Citar
4) En cuanto a la compacidad, ¿puede estudiarse si el espacio es compacto?

¡Claro que se puede estudiar!

No es compacto, porque no es cerrado.

Saludos.

04 Noviembre, 2021, 02:09 pm
Respuesta #9

nico

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Hola Luis en en cuanto a la última pregunta que no es cerrado, eso ¿es en el (0,0)? O ¿ porque no es compacto por punto límite en ese punto?
Mas concretamente ¿por qué no es cerrado?

Otra cosa que no entendí es por que  en la última parte de la demostración de Fernando en lugar de \( t_n \) ¿no deberá escribirse \( a_n \)? No entendí de donde sale la sucesión \( t_n \)

Saludos