Hola
Dados los espacios topológicos Homeomorfos, \( X ~ y ~ Y \) como se demuestra que si uno es normal, el otro también lo es?
Probar que este tipo de propiedades topológicas (que se definen sólo a partir de la topología de cada espacio) se conservan por homemorfismo es muy mecánico y siempre sigue el mismo esquema.
Tenemos \( f:X\to Y \) homemomorfismo. Y una determinada propiedad que se cumple en \( Y. \)
- Entonces tomamos los conjuntos implicados en la propiedad en \( X \).
- Los trasladamos a \( Y \) mediante \( f \) y sus imágenes siguen cumpliendo las mismas características topológicas por ser homeomorfismo.
- Como en \( Y \) se cumple la propiedad, esas imágenes la verifican y eso tiene alguna consecuencia.
- Se vuelve a trasladar esa consecuencia a \( X \) por \( f^{-1} \).
En tu caso supón que \( Y \) es normal (separa cerrados). Veamos que también ese normal \( X \).
- Toma dos cerrados disjuntos \( A,B\subset X \).
- Por ser \( f \) homeomorfismo (cerrada y biyectiva) \( f(A),f(B)\subset Y \) son cerrados disjuntos de \( Y \).
- Por ser \( Y \) normal existen abiertos disjuntos \( U,V\subset Y \) tales que \( f(A)\subset U,\,f(B)\subset V \).
- Entonces \( f^{-1}(U) \) y \( f^{-1}(V) \) por ser \( f \) continua son abiertos disjuntos que separan \( A \) y \( B \).
Saludos.
