Autor Tema: Demostración de espacio producto.

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29 Octubre, 2021, 05:34 am
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isabelgonzalezz

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2) demuestre que si el espacio producto \(  X = \prod X_ \alpha  \) es compacto, entonces cada espacio coordenado es también compacto. ¿ el recíproco es cierto?

29 Octubre, 2021, 08:59 am
Respuesta #1

Fernando Revilla

  • "Mientras que las otras ciencias estudian las leyes que Dios ha elegido para el Universo, las matemáticas estudian las leyes que hasta Dios tiene que obedecer."-Jean Pierre Serre.
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2) demuestre que si el espacio producto \(  X = \prod X_ \alpha  \) es compacto, entonces cada espacio coordenado es también compacto.

Las proyeccciones \( \pi_{\alpha} :\prod X_ \alpha\to X_\alpha \) son continuas, \( \operatorname{Im}(\pi_{\alpha})=X_ \alpha \) y la imagen continua de un compacto es compacto.

¿el recíproco es cierto?

Sí, es el conocido teorema de Tychonoff.

29 Octubre, 2021, 10:11 am
Respuesta #2

geómetracat

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Hay un pequeño detalle a añadir en el enunciado, que es que todos los \[ X_\alpha \] sean no vacíos. Porque si no, por ejemplo, \[ \emptyset \times \Bbb R = \emptyset \] es compacto pero \[ \Bbb R \] no lo es.

En el caso en que algún \[ X_\alpha \] sea vacío la demostración de Fernando falla porque \[ \operatorname{Im}(\pi_\beta)=\emptyset \] para todo \[ \beta \], aunque \[ X_\beta \neq \emptyset \].
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

29 Octubre, 2021, 10:20 am
Respuesta #3

Fernando Revilla

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Hay un pequeño detalle a añadir en el enunciado, que es que todos los \[ X_\alpha \] sean no vacíos. Porque si no, por ejemplo, \[ \emptyset \times \Bbb R = \emptyset \] es compacto pero \[ \Bbb R \] no lo es. En el caso en que algún \[ X_\alpha \] sea vacío la demostración de Fernando falla porque \[ \operatorname{Im}(\pi_\beta)=\emptyset \] para todo \[ \beta \], aunque \[ X_\beta \neq \emptyset \].

En total y absoluto desacuerdo. En la literatura matemática, más que frecuentemente se exige en la definición de espacio topológico \( (X,T) \) el que \( X\ne \emptyset \) y por supuesto, así lo he hecho yo. La razón de esto es que en caso contrario, da lugar a contraejemplos triviales y no deseados, como por ejemplo el que tú has encontrado.

29 Octubre, 2021, 12:01 pm
Respuesta #4

geómetracat

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Sin que sirva de precedente, no estoy de acuerdo. A mí siempre me enseñaron que el conjunto vacío es un espacio topológico, y de hecho ni siquiera era consciente de que hubiera gente que lo excluyera de la definición de espacio topológico. Es verdad que excluyéndolo eliminas hipótesis de "no vacío" en algunos teoremas, pero las añades en otros sitios (por ejemplo en la definición de topología de subespacio, o al decir cosas como que todo conjunto se puede ver como espacio topológico dotado de la topología discreta).

En cualquier caso es cuestión de convenio, no nos vamos a pelear por esto. En este caso dependerá de la definición que le hayan dado a isabelgonzalezz, que es posible que sea la que tú indicas, en cuyo caso no habría nada que reprochar al enunciado.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

29 Octubre, 2021, 12:44 pm
Respuesta #5

Fernando Revilla

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A mí siempre me enseñaron que el conjunto vacío es un espacio topológico, y de hecho ni siquiera era consciente de que hubiera gente que lo excluyera de la definición de espacio topológico.

Pues sí, la hay. Cuando uno ve que en unos libros excluyen al vacío y otros no, es lógico sentirse tentado a analizar cual es la razón.

En cualquier caso es cuestión de convenio, no nos vamos a pelear por esto. En este caso dependerá de la definición que le hayan dado a isabelgonzalezz, que es posible que sea la que tú indicas, en cuyo caso no habría nada que reprochar al enunciado.

Claro, el convenio que yo usé es el de no vacío, como muchos autores, por las razones que indiqué. Entonces, entiendo que digas que:

En el caso en que algún \[ X_\alpha \] sea vacío la demostración de Fernando falla porque \[ \operatorname{Im}(\pi_\beta)=\emptyset \] para todo \[ \beta \], aunque \[ X_\beta \neq \emptyset \].

si no eras consciente de que yo uso el mismo convenio que otros matemáticos.

En cualquier caso es cuestión de convenio, no nos vamos a pelear por esto. En este caso dependerá de la definición que le hayan dado a isabelgonzalezz, que es posible que sea la que tú indicas, en cuyo caso no habría nada que reprochar al enunciado.

Por supuesto que no va a suponer ningún problema conceptual.

30 Octubre, 2021, 04:27 am
Respuesta #6

isabelgonzalezz

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Muchas gracias chicos, de verdad lo entendí. No se imaginan cuanto lo agradezco