Autor Tema: Probar que la clase, es una topología en X

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29 Octubre, 2021, 05:30 am
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isabelgonzalezz

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  :) Hola gracias por permitirme entrar al foro.
Necesito ayuda con dos demostraciones de topología, me pueden ayudar?.

1) Sea X un conjunto no vacío, Y un espacio topológico con topología \(  \Gamma \) y \(  f : X \rightarrow{}Y  \)
Una función sobreyectiva. Pruebe que la Clase \(  \Psi = \ { f^{-1} ( U ) : U \in  \Gamma \ } \) es una topología en \(   X \)

29 Octubre, 2021, 09:59 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Bienvenida al foro.

  :) Hola gracias por permitirme entrar al foro.
Necesito ayuda con dos demostraciones de topología, me pueden ayudar?.

1) Sea X un conjunto no vacío, Y un espacio topológico con topología \(  \Gamma \) y \(  f : X \rightarrow{}Y  \)
Una función sobreyectiva. Pruebe que la Clase \(  \Psi = \ { f^{-1} ( U ) : U \in  \Gamma \ } \) es una topología en \(   X \)

 ¿Qué has intentando? Es bastante inmediato. Tienes que probar:

1) \( \emptyset,X\in \Psi \).

Spoiler
Pero por ser \( \Gamma \) topología en \( Y \), \( \emptyset,Y\in \Gamma \) y \( f^{-1}(Y)=X,\quad f^{-1}(\emptyset)=\emptyset \)
[cerrar]

2) Si \( \{U_i\}\subset \Psi \) entonces \( \displaystyle\bigcup_{i} U_i\in \Psi \).

Spoiler
Basta tener en cuenta que \( f^{-1}(\displaystyle\bigcup_{i} U_i)=\displaystyle\bigcup_{i} f^{-1}(U_i) \) y usar que \( \Gamma \) es topología.
[cerrar]

3) Si \( U,V\in \Psi \) entonces \( U\cap V\in \Psi \).

Spoiler
Es consecuencia de que \( f^{-1}(U\cap V)=f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V) \) y usar que \( \Gamma \) es topología.
[cerrar]

Completa los detalles y pregunta las dudas.

Por cierto la hipótesis de que \( f \) es sobreyectiva es innecesaria.

Saludos.