[angelabayona]

Chicos les escribo nuevamente para que me ayuden con estos ejercicios, pueden explicarme paso a paso? No han enviado un cuestionario para práctica un examen, pero no entiendo. Veo que lo que nos dieron en clases es diferente a lo que nos han enviado. Espero puedan ayudarme. Necesito la explicación.

1) \(  \max~ _ {t \in [a,b]} ~ | t' (t)|  \)

2) \(  ( \max~ _ {t \in [a,b] } ~  | t' (t) | ) + | x (a) |  \)

b) Las normas \(  \|   ~ \|_1  \) y  \(  \|   ~  \|_2  \)  se dicen equivalentes, si y solo si, existen números reales, \(  \alpha > 0 ,\, \beta > 0  \) tales que \(  \alpha \|  ~ \|_1 \le \|  ~  \|_2 \le   \beta \| ~ \|_1  \).

Considere la relación \(  \| ~   \|_1 \sim  \| ~  \|_2  \) si y solo si, \(   \|   ~ \|_1  \) y \(  \| ~  \|_2  \) son equivalentes, compruebe que \( \sim  \) es una relación de equivalencia.

c) considere \(    (X, \| ~  \| )  \) espacio de Banach, pruebe que \(  ( X  \times  X,\|  ~ \|_0 )  \) donde \(  \| ( x,y) \|_0  = \max ( \|  x \|, ~ \|y\| )  \) es un espacio de Banach.


\( \LaTeX \) corregido por la moderación. Para denotar una norma se debe escribir \| en vez de ||, y para denotar el producto cartesiano se escribe \times en vez de x.

[Fernando Revilla]

 Estimada angelabayona: ¿no crees que tras 42 mensajes sería conveniente que redactaras estos en de acuerdo con las reglas del foro? Yo por mi parte no te voy a contestar, hasta que así lo hagas.

[angelabayona]

Hola disculpa, acabo de editar la pregunta en látex, de verdad no sabía como hacerlo pero me he guiado del instructivo que tienen en el foro.

[Luis Fuentes]

Hola

Chicos les escribo nuevamente para que me ayuden con estos ejercicios, pueden explicarme paso a paso? No han enviado un cuestionario para práctica un examen, pero no entiendo. Veo que lo que nos dieron en clases es diferente a lo que nos han enviado. Espero puedan ayudarme. Necesito la explicación.

1) \(  \max~ _ {t \in [a,b]} ~ | t' (t)|  \)

2) \(  ( \max~ _ {t \in [a,b] } ~  | t' (t) | ) + | x (a) |  \)

No sé si en realidad querías poner:

1) \( \|x(t)\|= \max~ _ {t \in [a,b]} ~ | \color{red}x\color{black}' (t)|  \)

2) \( \|x(t)\|= ( \max~ _ {t \in [a,b] } ~  | \color{red}x\color{black}' (t) | ) + | x (a) |  \)

y estás preguntando si son o no normales el el espacio de funciones de clase \( 1 \) en \( [a,b] \).

La primera no, desde luego porque si \( x(t)=1 \) (por ejemplo) su norma sería nula, pero no se trata de la función nula.

La segunda si lo es. Es bastante inmediato. Tienes que probar que:

i) \( \|x(t)\|\geq 0 \). Inmediato.

ii) \( \|x(t)\|=0 \) si y sólo si \( x(t) \) es la función nula constante.

Spoiler

Es consecuencia de que una función con derivada nula y que vale cero en un punto, es constante igual a cero en todo punto.

[cerrar]

iii) \( \|\lambda\cdot x(t)\|=|\lambda|\|x(t)\| \). Es inmediato.

iv) \( \|x(t)+y(t)\|\leq \|x(t)\|+\|y(t)\| \)

Spoiler

Basta notar que el máximo de la suma es menor o igual que la suma de máximos.

[cerrar]

b) Las normas \(  \|   ~ \|_1  \) y  \(  \|   ~  \|_2  \)  se dicen equivalentes, si y solo si, existen números reales, \(  \alpha > 0 ,\, \beta > 0  \) tales que \(  \alpha \|  ~ \|_1 \le \|  ~  \|_2 \le   \beta \| ~ \|_1  \).

Considere la relación \(  \| ~   \|_1 \sim  \| ~  \|_2  \) si y solo si, \(   \|   ~ \|_1  \) y \(  \| ~  \|_2  \) son equivalentes, compruebe que \( \sim  \) es una relación de equivalencia.

Tienes que probar las propiedades reflexiva (toda norma es equivalente a si misma); simétrica (si \( 1 \) es equivalente a \( 2 \), \( 2 \) es equivalente a \( 1 \)); transitiva (si \( 1 \) es equivalente a \( 2 \) y \( 2 \) es equivalente a \( 3 \), entonces \( 1 \) es equivalente a \( 3 \)).

Es bastante inmediato también. Alguna indicación. Para la simétrica nota que siendo \( \alpha,\beta>0 \) si:

\(  \alpha \|  ~ \|_1 \le \|  ~  \|_2  \) entonces \(   \|  ~ \|_1 \le \dfrac{1}{\alpha} \|  ~  \|_2  \)
\(  \|  ~ \|_2 \le \beta \|  ~  \|_1  \) entonces \( \dfrac{1}{\beta}   \|  ~ \|_2 \le \|  ~  \|_1  \)

Para la transitiva, si:

\(  \alpha \|  ~ \|_1 \le \|  ~  \|_2 \le   \beta \| ~ \|_1  \)
\(  \alpha' \|  ~ \|_2 \le \|  ~  \|_3 \le   \beta' \| ~ \|_2  \)

Entonces:

\( \alpha \alpha' \|  ~ \|_1 \le \|  ~  \|_3 \le \beta\beta' \| ~ \|_1 \)

c) considere \(    (X, \| ~  \| )  \) espacio de Banach, pruebe que \(  ( X  \times  X,\|  ~ \|_0 )  \) donde \(  \| ( x,y) \|_0  = \max ( \|  x \|, ~ \|y\| )  \) es un espacio de Banach.

Tienes que probar que toda sucesión de Cauchy en \(  ( X  \times  X,\|  ~ \|_0 )  \)  es convergente.

1) Prueba que si \( \{(x_n,y_n)\} \) es de Cauchy en \(  ( X  \times  X,\|  ~ \|_0 )  \) , entonces \( \{x_n\} \) e \( \{y_n\} \) son de Cauchy en \( X \).
2) Por ser \( X \) completo, \( \{x_n\}\to x \) e \( \{y_n\}\to y \) son convergentes en \( X \).
3) Comprueba que \( \{(x_n,y_n)\}\to (x,y) \) in \(  ( X  \times  X,\|  ~ \|_0 )  \).

Con estas ideas intenta completar los detalles.

Si no te sale vuelve a preguntar; en ese caso huye del "no entiendo nada". Especifica hasta donde comprendes y que es la primera cosa en la que tienes dificultades.

Saludos.

[angelabayona]

Hola, las demás indicaciones las entendí, la parte c) no la he podido demostrar.

[martiniano]

Hola.

Hola, las demás indicaciones las entendí, la parte c) no la he podido demostrar.

Esto es precisamente lo que tienes que intentar evitar. Luis te lo pidió encarecidamente aquí.

Si no te sale vuelve a preguntar; en ese caso huye del "no entiendo nada". Especifica hasta donde comprendes y que es la primera cosa en la que tienes dificultades.

Además, previamente te indicó un camino dividido en tres pasos. No te hubiera costado nada decir me he quedado atascada en tal paso por tal motivo. Así facilitarías mucho la tarea a quien, desinteresadamente, intenta ayudarte. Por ejemplo, si yo ahora te dedico un tiempo, el que tarde en detallarte el primer paso y luego me encuentro con un, “no si eso lo entiendo, lo que no entiendo es esto otro", pues... No sé... ¿Qué opinas? ¿No te parece más eficiente que tú indiques de entrada dónde te has quedado?

Para demostrar el primer paso ten en cuenta que si \[ \{(x_n, y_n) \}  \] es de Cauchy entonces para todo \[ \epsilon >0 \] existe \[ N\in{\mathbb{N}} \] tal que para todos \[ m, n \] mayores que \[ N \] es \[ \left\|{(x_m-x_n, y_m-y_n) }\right\|_0=\max\{\left\|{x_m-x_n}\right\|, \left\|{y_m-y_n}\right\|\} <\epsilon  \]. Como tanto \[   \left\|{x_m-x_n}\right\| \] como \[      \left\|{y_m-y_n}\right\|    \] son menores que \[   \max\{\left\|{x_m-x_n}\right\|, \left\|{y_m-y_n}\right\|\}<\epsilon  \] pues ya tienes que ambas sucesiones son de Cauchy.

Un saludo.

[angelabayona]

Para la parte b)
para propiedad simétrica:
 
\(
\lVert\,\rVert_1 \sim \lVert\,\rVert_2
\quad\Rightarrow\quad
\alpha \lVert\,\rVert_1
\leq \lVert\,\rVert_2
\leq \beta \lVert\,\rVert_1
\quad\Rightarrow\quad
\tfrac{1}{\beta} \lVert\,\rVert_2
\leq \lVert\,\rVert_1
\leq \tfrac{1}{\alpha} \lVert\,\rVert_2
\quad\Rightarrow\quad
\lVert\,\rVert_2 \sim \lVert\,\rVert_1
 \)


Para la propiedad transitiva:
\(
\left.
\begin{aligned}
\lVert\,\rVert_1 \sim \lVert\,\rVert_2
\;&\Rightarrow\;
\,\alpha\, \lVert\,\rVert_1
\leq \lVert\,\rVert_2
\leq \beta\, \lVert\,\rVert_1 \\
\lVert\,\rVert_2 \sim \lVert\,\rVert_3
\;&\Rightarrow\;
\alpha' \lVert\,\rVert_2
\leq \lVert\,\rVert_3
\leq \beta' \lVert\,\rVert_2
\end{aligned}
\;\right\}\!\!\!\Rightarrow \;
\alpha^{}\alpha' \lVert\,\rVert_1
\leq \lVert\,\rVert_3
\leq \beta^{}\beta' \lVert\,\rVert_1
\;\Rightarrow\;
\lVert\,\rVert_1 \sim \lVert\,\rVert_3
 \)

Para la propiedad reflexiva,  ambos escalares pueden ser \( 1 \):

\(
1\, \lVert\,\rVert_1
\leq \lVert\,\rVert_1
\leq 1\, \lVert\,\rVert_1
\quad\Rightarrow\quad
\lVert\,\rVert_1 \sim \lVert\,\rVert_1
 \)

Es correcto? No necesito agregar mas nada? Pueden ayudarme con las demostraciones de la parte c? Espero no molestarlos

[Luis Fuentes]

Hola

Para la parte b)
para propiedad simétrica:
 
\(
\lVert\,\rVert_1 \sim \lVert\,\rVert_2
\quad\Rightarrow\quad
\alpha \lVert\,\rVert_1
\leq \lVert\,\rVert_2
\leq \beta \lVert\,\rVert_1
\quad\Rightarrow\quad
\tfrac{1}{\beta} \lVert\,\rVert_2
\leq \lVert\,\rVert_1
\leq \tfrac{1}{\alpha} \lVert\,\rVert_2
\quad\Rightarrow\quad
\lVert\,\rVert_2 \sim \lVert\,\rVert_1
 \)


Para la propiedad transitiva:
\(
\left.
\begin{aligned}
\lVert\,\rVert_1 \sim \lVert\,\rVert_2
\;&\Rightarrow\;
\,\alpha\, \lVert\,\rVert_1
\leq \lVert\,\rVert_2
\leq \beta\, \lVert\,\rVert_1 \\
\lVert\,\rVert_2 \sim \lVert\,\rVert_3
\;&\Rightarrow\;
\alpha' \lVert\,\rVert_2
\leq \lVert\,\rVert_3
\leq \beta' \lVert\,\rVert_2
\end{aligned}
\;\right\}\!\!\!\Rightarrow \;
\alpha^{}\alpha' \lVert\,\rVert_1
\leq \lVert\,\rVert_3
\leq \beta^{}\beta' \lVert\,\rVert_1
\;\Rightarrow\;
\lVert\,\rVert_1 \sim \lVert\,\rVert_3
 \)

Para la propiedad reflexiva,  ambos escalares pueden ser \( 1 \):

\(
1\, \lVert\,\rVert_1
\leq \lVert\,\rVert_1
\leq 1\, \lVert\,\rVert_1
\quad\Rightarrow\quad
\lVert\,\rVert_1 \sim \lVert\,\rVert_1
 \)

Es correcto? No necesito agregar mas nada?

Está bien.

Pueden ayudarme con las demostraciones de la parte c? Espero no molestarlos

Pero es la tercera vez que te indicamos que no tenemos inconveniente alguno en ayudarte...¡pero tienes que concretar las dudas!. Te he indicado los pasos a seguir y martiniano ha detallado uno de ellos. ¿Exactamente qué duda tienes para continuar?.

Saludos.

[martiniano]

Hola.

Para la parte b)
para propiedad simétrica:
 
\(
\lVert\,\rVert_1 \sim \lVert\,\rVert_2
\quad\Rightarrow\quad
\alpha \lVert\,\rVert_1
\leq \lVert\,\rVert_2
\leq \beta \lVert\,\rVert_1
\quad\Rightarrow\quad
\tfrac{1}{\beta} \lVert\,\rVert_2
\leq \lVert\,\rVert_1
\leq \tfrac{1}{\alpha} \lVert\,\rVert_2
\quad\Rightarrow\quad
\lVert\,\rVert_2 \sim \lVert\,\rVert_1
 \)


Para la propiedad transitiva:
\(
\left.
\begin{aligned}
\lVert\,\rVert_1 \sim \lVert\,\rVert_2
\;&\Rightarrow\;
\,\alpha\, \lVert\,\rVert_1
\leq \lVert\,\rVert_2
\leq \beta\, \lVert\,\rVert_1 \\
\lVert\,\rVert_2 \sim \lVert\,\rVert_3
\;&\Rightarrow\;
\alpha' \lVert\,\rVert_2
\leq \lVert\,\rVert_3
\leq \beta' \lVert\,\rVert_2
\end{aligned}
\;\right\}\!\!\!\Rightarrow \;
\alpha^{}\alpha' \lVert\,\rVert_1
\leq \lVert\,\rVert_3
\leq \beta^{}\beta' \lVert\,\rVert_1
\;\Rightarrow\;
\lVert\,\rVert_1 \sim \lVert\,\rVert_3
 \)

Para la propiedad reflexiva,  ambos escalares pueden ser \( 1 \):

\(
1\, \lVert\,\rVert_1
\leq \lVert\,\rVert_1
\leq 1\, \lVert\,\rVert_1
\quad\Rightarrow\quad
\lVert\,\rVert_1 \sim \lVert\,\rVert_1
 \)

Es correcto? No necesito agregar mas nada?

Pues no sabría juzgar si está bien o mal. Supongo que te lo darían por bueno, aunque estrictamente hablando no estaría bien porque falta que digas qué son esas \[ \alpha, \beta,... \]. Por ejemplo, para la propiedad reflexiva se echa de menos alguna frase como esta:

Si \[ \left\|{\,}\right\|_1\sim{}\left\|{\,}\right\|_2 \] entonces existen constantes no nulas \[ \alpha, \beta \] tales que ..., por lo tanto ... , y de esto finalmente tenemos que \[ \left\|{\,}\right\|_2\sim{}\left\|{\,}\right\|_1 \].

Pueden ayudarme con las demostraciones de la parte c? Espero no molestarlos

No, si no nos molestas. Lo que pasa es que sigues sin especificar en qué parte has tenido problemas, y yo sigo sin poder adivinarlo. ¿Entendiste lo que te puse en mi mensaje anterior? Si hay algo que no, ¿puedes concretar el qué? ¿Tienes problemas con el resto de pasos? Gracias.

El segundo paso es inmediato. Básicamente se debe a la definición de espacio completo. En un espacio completo todas las sucesiones de Cauchy convergen. Se supone que en el paso 1) hemos demostrado que las sucesiones \[ x_n \] e \[ y_n \] son de Cauchy, y como el enunciado dice que estamos en un espacio de Banach (que quiere decir completo y normado) pues entonces ambas sucesiones convergen.

Para el tercer paso ten en cuenta que si \[ x_n \] e \[ y_n \] son convergentes a \[ x \] y a \[ y \] respectivamente, entonces para todo \[ \epsilon>0 \] existen \[ N_1,N_2 \] tales que para todo \[ n_1>N_1 \] y todo \[ n_2>N_2 \] se cumple \[ \left\|{x_{n_1}-x}\right\|<\epsilon \] y \[ \left\|{y_{n_2}-y}\right\|<\epsilon \]. En particular, para todo \[ n>max\{N_1,N_2\} \] será  \[ \left\|{x_{n}-x}\right\|<\epsilon \] y \[ \left\|{y_{n}-y}\right\|<\epsilon \]. Por lo que el máximo de ambos también será menor que \( \epsilon \), es decir, \[ \left\|{(x_n,y_n)-(x,y)}\right\|_0=\max\{\left\|{x_n-x}\right\|,\left\|{y_n-y}\right\|\}<\epsilon \], con lo que queda probado el paso 3.

Cualquier cosa insiste sin miedo, pero sé lo más concreta posible, por favor.

Un saludo.

PD. Se me adelantó Luis. Bueno, ya que tengo esto escrito lo subo... Pero eso angelabayona, que concretes todo lo que puedas.