Autor Tema: Demostrar que la función es continua

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27 Octubre, 2021, 10:22 pm
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carlosbayona

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¿ Cómo se demuestra? Necesito que me auxilien.
Demostrar que la función \(  T : C [0,1] \longrightarrow{}R \) dada por \( T\ ( f)=  \displaystyle\int_{0}^{1} f \ (x) dx \) es continua.

27 Octubre, 2021, 11:43 pm
Respuesta #1

martiniano

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Hola.

No sé en qué forma influye la norma que se elija para \[ C[0,1] \], pero con la norma del supremo se tiene que para todo \[ \epsilon>0 \] existe \[ \delta=\epsilon \] tal que si \[ \left\|{f-f_0}\right\|<\delta \] entonces:

\[ |T(f) - T(f_0)|=\left |\displaystyle\int_{0}^{1}[f(x)-f_0(x)]dx\right |\leq{}\displaystyle\int_{0}^{1}|f(x)-f_0(x)|dx\leq{}      \displaystyle\int_{0}^{1}\sup_{x\in{[0,1]} }\{|f(x)-f_0(x)|\}dx=\displaystyle\int_{0}^{1}\left\|{f-f_0}\right\|dx  =\left\|{f-f_0}\right\|  <\delta=\epsilon \].

Luego \[ T \] es continua en \[ f_0 \].

Un saludo.