Autor Tema: Demostrar que una aplicacion de un espacio compacto E en un espacio metrico , es

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27 Octubre, 2021, 04:24 pm
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carlosbayona

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demostrar que una aplicacion de un espacio compacto E en un espacio metrico , es uniformemente continua.
Esta bien demostrado de esta forma?
Demostración:
Sea \(  f : E \rightarrow{}F  \)

Por reducción al absurdo, suponemos que \( f \) no es uniformemente continua, existen entonces, dos sucesiones, \(  \ { x_n \ }  \) e \(  \ {y_n \ }  \)

De puntos de E, y un \(  \epsilon > 0  \) , tales que para todo \(  n \in N  \) se tiene que:

\(  d \ ( x _n, y _n \ ) < 1/n  \)  y \(  d \ ( f(x_n), f(y_n)) \geq{} \epsilon \)

Por ser E compacto, tenemos una sucesion parcial \(  \ ( { x_ { \theta _(n )} })   \) que converge a un punto \(  x \in E  \) puesto que \(  d \ ( x_{ \theta_(n)} , y_{ \theta_(n)})\rightarrow{}0  \)

Se deduce también que \(  \ { y_ { \theta _ (n)} } \rightarrow{}x.  \) como f es continua, se tiene entonces que \(  \ { f \ ( x_ { \theta _ (n) }}\rightarrow{}f(x)  \) y

\(  \ { f \ ( y_{ \theta _ (n)} )}\rightarrow{}f(x)  \)  luego \(  d \ (  \ { f \ ( x_ {\theta _ (n)} )},\ { f \ ( y_{ \theta _ (n)} )})\longrightarrow{}0  \) lo cual es una contradicción ya que \(  d \ ( \ { f \ ( x _ {\theta _ (n) })}, \ { f \ ( y_ { \theta _ (n)} )}) \geq{} \epsilon  \)

28 Octubre, 2021, 07:53 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

demostrar que una aplicacion de un espacio compacto E en un espacio metrico , es uniformemente continua.
Esta bien demostrado de esta forma?
Demostración:
Sea \(  f : E \rightarrow{}F  \)

Por reducción al absurdo, suponemos que \( f \) no es uniformemente continua, existen entonces, dos sucesiones, \(  \ { x_n \ }  \) e \(  \ {y_n \ }  \)

De puntos de E, y un \(  \epsilon > 0  \) , tales que para todo \(  n \in N  \) se tiene que:

\(  d \ ( x _n, y _n \ ) < 1/n  \)  y \(  d \ ( f(x_n), f(y_n)) \geq{} \epsilon \)

Por ser E compacto, tenemos una sucesion parcial \(  \ ( { x_ { \theta _(n )} })   \) que converge a un punto \(  x \in E  \) puesto que \(  d \ ( x_{ \theta_(n)} , y_{ \theta_(n)})\rightarrow{}0  \)

Se deduce también que \(  \ { y_ { \theta _ (n)} } \rightarrow{}x.  \) como f es continua, se tiene entonces que \(  \ { f \ ( x_ { \theta _ (n) }}\rightarrow{}f(x)  \) y

\(  \ { f \ ( y_{ \theta _ (n)} )}\rightarrow{}f(x)  \)  luego \(  d \ (  \ { f \ ( x_ {\theta _ (n)} )},\ { f \ ( y_{ \theta _ (n)} )})\longrightarrow{}0  \) lo cual es una contradicción ya que \(  d \ ( \ { f \ ( x _ {\theta _ (n) })}, \ { f \ ( y_ { \theta _ (n)} )}) \geq{} \epsilon  \)

 La veo bien.

Saludos.