Encontrar la frontera del subconjunto \( A=\{x\times y | y=0\} \) de \[ \mathbb R^2 \]
Este ha sido mi procedimiento, ¿ es correcto?
Lo que piden es lo siguiente: \( \overline{A}\cap \overline{\mathbb R-A} \)
*\( A \) es cerrado, por lo tanto \( A=\overline{A} \)
*Además, \( \overline{\mathbb R-A}=\mathbb R \), pues \( \overline{\mathbb R-A}\subset \mathbb R \) y además, \( \overline{\mathbb R-A}=(\mathbb R-A)\cup (\mathbb R-A)' \) , \( \mathbb R=A\cup (\mathbb R-A) \), por lo tanto para probar \( \mathbb R \subset \overline{\mathbb R-A} \) tendría que probar que \( A\subset (\mathbb R-A)' \).
Sea \( x\times 0 \) un elemento cualquiera de \( A \), y además que esté contenido en un abierto cualquiera \( ((a\times b),(c\times d)) \), entonces \( a<x<b, c<0<d \), luego si considero el punto \( y\times z \) tal que \( a<y<b \) y \( 0<z<d \) obtengo un elemento de \( X-A \) que tambien está en el abierto \( ((a\times b),(c\times d)) \), por lo tanto \( A\subset (\mathbb R-A)' \), lo que significa \( \mathbb R\subset \overline{(\mathbb R-A)} \) y entonces, \( \overline{\mathbb R-A}=\mathbb R \)
Luego la frontera de \( A \) es \( A \).
