Autor Tema: NO equivalencia de dos normas en C[0,1]

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21 Octubre, 2021, 05:35 pm
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armando.unica

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Buenos dias, por favor me podrian ayudar con este ejercicio, de antemano muchas gracias

On \( C([ 0,1], F ) \) we have the two norms \( \left\|{.}\right\|_1 \) and \( \left\|{.}\right\|_\infty \) . Show that the metrics induced by these two norms are not equivalent.

Norms:

\( \left\|{f}\right\|_1 =\displaystyle\int_{0}^{1}\left |{f(t)}\right |dt \)

\( \left\|{f}\right\|_\infty = \sup \left\{{\left |{f(t)}\right |} : t \in [0,1] \right\}  \)

21 Octubre, 2021, 06:16 pm
Respuesta #1

martiniano

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Hola.

Saca las normas de las funciones de la forma:

\[ f_k(x)=\begin{cases}{k-k^2x}&\text{si}& x<\displaystyle\frac{1}{k}\\0& \text{en otro caso}\end{cases} \]

Si no puedes concluir insiste. Un saludo.

03 Noviembre, 2021, 02:45 am
Respuesta #2

alumnolibre

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Hola, tengo en el mismo problema por desarrollar pero indagando en internet encontre al parecer una explicacion pero no entiendo, quizas alguien pueda ayudarme a entender los pasos que detalla:

Para cada \( n\in \mathbb{N} \) definimos \( x_n\in C\left[0,1 \right]  \) por \( x_n(t)=t^{n-1} \) para todo \( t\in\left[0,1 \right] \)
      
Es claro que \( ||x_n||_\infty=1 \) y \( ||x_n||_1=1/n \), para todo \( n\in\mathbb{N} \)
      
Si existe una constante \( \lambda\in\mathbb{R}^+ \) tal que verifique \( \lambda||x||_\infty\leqslant||x||_1 \) para todo \( x\in C\left[ 0,1\right]  \)
      
Se tendría \( \lambda\leqslant1/n \) para todo \( n\in\mathbb{N} \), lo que es contradicción.
      
Entonces las normas \( ||.||_1 \) y \( ||.||_\infty \) en el espacio \( C\left[0,1 \right] \) no son equivalentes.

03 Noviembre, 2021, 07:14 am
Respuesta #3

martiniano

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Hola.

¿Podrías detallar tú un poco más qué es lo que no entiendes?

Un saludo.

03 Noviembre, 2021, 07:42 pm
Respuesta #4

alumnolibre

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Hola.

¿Podrías detallar tú un poco más qué es lo que no entiendes?

Un saludo.

si claro, por que define \( x_n(t)=t^{n-1} \)

03 Noviembre, 2021, 07:46 pm
Respuesta #5

alumnolibre

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Hola.

¿Podrías detallar tú un poco más qué es lo que no entiendes?

Un saludo.

si claro, por que define \( x_n(t)=t^{n-1} \) y por que la desigualdad \( \lambda\leq{1/n} \) es una contradiccion

03 Noviembre, 2021, 08:10 pm
Respuesta #6

martiniano

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Hola.

La contradicción no es exactamente \[ \lambda \leq{1/n} \], sinó que exista una constante positiva \[ \lambda  \] tal que para todo \[ n \] natural sea \[ \lambda\geq{1/n} \], y esto es una contradicción porque al poder ser \[ n \] arbitrariamente grande, \[ 1/n \] puede ser arbitrariamente cercano a 0.

Toma la sucesión de funciones que toma porque es la que llega a la contradicción.

Un saludo.

04 Noviembre, 2021, 06:17 pm
Respuesta #7

alumnolibre

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gracias, me quedo ahora muy claro :aplauso:

04 Noviembre, 2021, 06:54 pm
Respuesta #8

Fernando Revilla

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   Como complemento doy el siguiente enlace:

        https://fernandorevilla.es/2014/03/25/normas-no-equivalentes/

Se demuestra además que en todo espacio vectorial normado de dimensión infinita existen al menos dos normas que no son equivalentes.


05 Noviembre, 2021, 07:31 am
Respuesta #9

martiniano

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Interesante, Fernando.

Gracias.