Autor Tema: Consulta respecto al ejercicio 17.5 Munkres

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21 Octubre, 2021, 01:40 am
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Fernando Padilla

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Sea \( X \) un conjunto ordenado en la topología del orden. Muestre que \( \overline{(a,b)}\subset [a,b] \).
¿Bajo que condiciones se cumple la igualdad?

Como \( (a,b)\subset [a,b] \) y \( [a,b] \) es cerrado, entonces \( \overline{(a,b)}\subset [a,b] \).
La igualdad se cumple si \( a,b \) son puntos límites de \( (a,b) \).

Lo anterior creo que prueba lo que se busca en el ejercicio, pero si no se cumple la igualdad, es decir, sólo se cumple que \( \overline{(a,b)}\subset [a,b] \) y no la igualdad, entonces ¿qué clase de conjunto sería \( \overline{(a,b)}? \).
\( \overline{(a,b)} \) es cerrado, y no podría ser de la forma \( (a,b) \) por que no es cerrado, tampoco de la forma \( [a,b) \) o \( (a,b] \) por que no son cerrados, ni tampoco podrían ser de la forma \( [a,b] \) por que no se da la igualdad, entonces ¿ de que forma sería dicho conjunto?

21 Octubre, 2021, 07:15 am
Respuesta #1

geómetracat

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\[ (a,b) \] sí que puede ser cerrado (al igual que \[ [a,b) \] o \[ (a,b] \]).

En \[ \Bbb N \] la topología del orden coincide con la discreta, y por ejemplo \[ (1,3)=\{2\} \] es cerrado.

O considera \[ X=\{0\} \cup \{1/n \mid n\geq 1 \} \] con la topología del orden. Entonces, \[ \overline{(0,1/2)}=[0,1/2) \].
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

21 Octubre, 2021, 02:06 pm
Respuesta #2

Fernando Padilla

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Hola,

\[ X=\{0\} \cup \{1/n \mid n\geq 1 \} \] con la topología del orden. Entonces, \[ \overline{(0,1/2)}=[0,1/2) \].

¿Este ejemplo tambien es una topología discreta, donde la base sería cada elemento unipuntual?
\( \{0\}=[0,1/n) \)
\( \{1/n\}=(1/(n+1),1/(n-1)) \)

21 Octubre, 2021, 04:11 pm
Respuesta #3

geómetracat

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No, es el orden inducido del de \[ \Bbb R \]. No es discreto pues \[ \{0\} \] no es abierto: cualquier intervalo que contenga al \[ 0 \] debe contener también a infinitos puntos de los \[ 1/n \].
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

21 Octubre, 2021, 05:12 pm
Respuesta #4

Fernando Padilla

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Hola,

No, es el orden inducido del de \[ \Bbb R \]. No es discreto pues \[ \{0\} \] no es abierto: cualquier intervalo que contenga al \[ 0 \] debe contener también a infinitos puntos de los \[ 1/n \].

Ya entiendo, muchas gracias.