Autor Tema: Demostración (topología)

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25 Septiembre, 2021, 11:18 pm
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Florruiz

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Sea X un espacio métrico y \(  A\subseteq{}X \) si \(  \delta (A) = sup \{d(x,y) : x,y \in{}A\} \) demostrar que: \( \delta\overline{(A)} = \delta( A) \)

26 Septiembre, 2021, 12:14 am
Respuesta #1

Fernando Revilla

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    • Fernando Revilla
Sea X un espacio métrico y \(  A\subseteq{}X \) si \(  \delta (A) = sup \{d(x,y) : x,y \in{}A\} \) demostrar que: \( \delta\overline{(A)} = \delta( A) \)

Suponemos \( A\ne \emptyset \) y \( \delta (A) \) finito, los restantes casos son fáciles de analizar. Como \( A\subset \overline A \) se deduce que \( \delta (A) \le \delta (\overline A) \). Ahora, si \( \epsilon > 0, \) y \( a,b \in \overline {A} \),  existen puntos \( a^\prime, b^\prime \) en  \( A \) tales que \( d(a,a') < \epsilon \) y \( d(b,b') < \epsilon \). Entonces,
   
        \( d(a,b) \leq d(a,a') + d(a',b') + d(b',b) < 2 \epsilon + d(a',b')\leq 2 \epsilon + \delta (A). \)

Como la desigualdad se verifica para todo \( \epsilon > 0 \), se deduce que \( \delta(\overline{A}) \le \delta( A) \).

20 Octubre, 2021, 11:35 pm
Respuesta #2

Florruiz

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Chicos gracias por el apoyo. Pude aprobar mi primer examen de topología. Justamente me colocaron un ejercicio de estos y supe cómo defenderme. De verdad muchas gracias. Y pude resolver los demás. No me había dado cuenta del curso de topología que tienen en el foro. Cómo no me dí cuenta antes. Lo voy a tomar.

21 Octubre, 2021, 09:32 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Chicos gracias por el apoyo. Pude aprobar mi primer examen de topología.

Enhorabuena.  :aplauso: :aplauso:

Saludos.