[velvock]

Hola tengo el siguiente problema

Sea \( U \) un subconjunto conexo de \( \Bbb R^n \) con la topología usual. Probar que el conjunto de las componentes conexas es numerable.

Cualquier subconjunto abierto de \( \Bbb R \) es una reunión, a lo sumo numerable, de intervalos abiertos disjuntos.

[argentinator]

Parecen ser varios enunciados separados.
Ya sea que estén todos juntos en un solo enunciado, o separados, no le encuentro mucho sentido, salvo la última parte.

¿Está mal copiado el enunciado?

[velvock]

Parecen ser varios enunciados separados.
Ya sea que estén todos juntos en un solo enunciado, o separados, no le encuentro mucho sentido, salvo la última parte.

¿Está mal copiado el enunciado?

El problema es la primera parte "Sea \( U \) un subconjunto conexo de \( \Bbb R^n \) con la topología usual. Probar que el conjunto de las componentes
conexas es numerable."

[geómetracat]

Si el subconjunto es conexo, solamente tiene una componente conexa (por definición). ¿Seguro que querías poner eso? Revisa el enunciado.

[Luis Fuentes]

Hola

Sea \( U \) un subconjunto conexo de \( \Bbb R^n \) con la topología usual. Probar que el conjunto de las componentes conexas es numerable.

¿No será: "Sea \( U \) un subconjunto conexo abierto de \( \Bbb R^n \) con la topología usual. Probar que el conjunto de las componentes conexas es numerable."?.

En ese caso ten en cuenta que para cualquier punto \( x\in U \), existe una bola abierta en \( U \) que lo contiene. Como las bolas abiertas son conexas, están contenidas en la componente conexa del punto \( x \). Finalmente como los racionales (\( \Bbb Q^n \)) son densos en \( \Bbb R^n \), esa bola abierta contiene algún punto de coordenadas racionales.

Esto permite definir una aplicación inyectiva:

\( f:\{\textsf{conjunto de componentes conexas de }U\}\to \Bbb Q^n \)

Como \( \Bbb Q^n \) es numerable, entonces el conjunto de componentes conexas es numerable.

Saludos.

P.D. El mismo argumento sirve para cualquier espacio topológico separable y localmente conexo.

P.D.D. Por numerable estamos entendiendo tener una cardinal menor o igual que el de los naturales.