[armando.unica]

Buenas noches, alguien pueda ayudarme con este problema de topología, de antemano muchas gracias

Let \( (X, d) \) be a metric space, and let \( S ⊂ X \). The distance of \( x ∈ X \) to \( S \) is defined as

\( \operatorname{dist}(x, S) := \inf\{d(x, y) : y ∈ S\} \)

(where \( \operatorname{dist}(x, S) = ∞ \) if \( S = ∅ \)). Show that \( S = \{x ∈ X : \operatorname{dist}(x, S) = 0\} \)

\( \LaTeX \) corregido por la moderación.

[Masacroso]

Buenas noches, alguien pueda ayudarme con este problema de topología, de antemano muchas gracias

Let \( (X, d) \) be a metric space, and let \( S ⊂ X \). The distance of \( x ∈ X \) to \( S \) is defined as

\( \operatorname{dist}(x, S) := \inf\{d(x, y) : y ∈ S\} \)

(where \( \operatorname{dist}(x, S) = ∞ \) if \( S = ∅ \)). Show that \( S = \{x ∈ X : \operatorname{dist}(x, S) = 0\} \)

\( \LaTeX \) corregido por la moderación.

Bienvenido al foro armando. Las matemáticas en el foro se deben escribir utilizando \( \LaTeX \). Por esta vez te lo he corregido, pero para la próxima debes escribir usando \( \LaTeX \), tienes un tutorial de cómo hacerlo aquí. También cuando tengas tiempo deberías mirar las demás reglas del foro, recogidas aquí.

Ahora, sobre el ejercicio: el supuesto teorema a demostrar, tal y como está escrito, es falso. Demostración: sea \( X=\mathbb{R} \) con la función distancia usual definida por el valor absoluto y \( S=(0,1) \), entonces \( d(0,S)=0 \), y sin embargo \( 0\notin S \).

Sin embargo el teorema es cierto si el conjunto \( S \) es cerrado, para demostrar tal cosa puedes utilizar estos dos hechos que seguro conoces

1. \( x\in S \) si y solo si existe una sucesión en \( S \) que converge a \( x \) (ya que \( S \) está compuesto de puntos límites o aislados).

2. Si \( k \) es el ínfimo de un conjunto \( A \) entonces existe una sucesión en \( A \) que converge a \( k \).

[argentinator]

Posiblemente el conjunto no sea \(S\) sino \(\bar S\), la clausura de \(S\). 

[armando.unica]

Buenas noches, alguien pueda ayudarme con este problema de topología, de antemano muchas gracias

Let \( (X, d) \) be a metric space, and let \( S ⊂ X \). The distance of \( x ∈ X \) to \( S \) is defined as

\( \operatorname{dist}(x, S) := \inf\{d(x, y) : y ∈ S\} \)

(where \( \operatorname{dist}(x, S) = ∞ \) if \( S = ∅ \)). Show that \( S = \{x ∈ X : \operatorname{dist}(x, S) = 0\} \)

\( \LaTeX \) corregido por la moderación.

Bienvenido al foro armando. Las matemáticas en el foro se deben escribir utilizando \( \LaTeX \). Por esta vez te lo he corregido, pero para la próxima debes escribir usando \( \LaTeX \), tienes un tutorial de cómo hacerlo aquí. También cuando tengas tiempo deberías mirar las demás reglas del foro, recogidas aquí.

Ahora, sobre el ejercicio: el supuesto teorema a demostrar, tal y como está escrito, es falso. Demostración: sea \( X=\mathbb{R} \) con la función distancia usual definida por el valor absoluto y \( S=(0,1) \), entonces \( d(0,S)=0 \), y sin embargo \( 0\notin S \).

Sin embargo el teorema es cierto si el conjunto \( S \) es cerrado, para demostrar tal cosa puedes utilizar estos dos hechos que seguro conoces

1. \( x\in S \) si y solo si existe una sucesión en \( S \) que converge a \( x \) (ya que \( S \) está compuesto de puntos límites o aislados).

2. Si \( k \) es el ínfimo de un conjunto \( A \) entonces existe una sucesión en \( A \) que converge a \( k \).

Buenos días gracias por sus respuestas y recomendaciones, si es cierto me equivoque el conjunto es la clausura de S:
 \( \overline{S}=\left\{{x\in{X}:dist(x,S)=0}\right\} \)

quizas puedas ayudarme con ese cambio

[Luis Fuentes]

Hola

Buenos días gracias por sus respuestas y recomendaciones, si es cierto me equivoque el conjunto es la clausura de S:
 \( \overline{S}=\left\{{x\in{X}:dist(x,S)=0}\right\} \)

quizas puedas ayudarme con ese cambio

Masacroso ya te ha dado una indicación para probarlo en ese caso. ¿Has intentado seguirla?¿Qué dudas concretas tienes?.

Sin embargo el teorema es cierto si el conjunto \( S \) es cerrado, para demostrar tal cosa puedes utilizar estos dos hechos que seguro conoces

1. \( x\in S \) si y solo si existe una sucesión en \( S \) que converge a \( x \) (ya que \( S \) está compuesto de puntos límites o aislados).

2. Si \( k \) es el ínfimo de un conjunto \( A \) entonces existe una sucesión en \( A \) que converge a \( k \).

Saludos.

[armando.unica]

Hola

Buenos días gracias por sus respuestas y recomendaciones, si es cierto me equivoque el conjunto es la clausura de S:
 \( \overline{S}=\left\{{x\in{X}:dist(x,S)=0}\right\} \)

quizas puedas ayudarme con ese cambio

Masacroso ya te ha dado una indicación para probarlo en ese caso. ¿Has intentado seguirla?¿Qué dudas concretas tienes?.

Sin embargo el teorema es cierto si el conjunto \( S \) es cerrado, para demostrar tal cosa puedes utilizar estos dos hechos que seguro conoces

1. \( x\in S \) si y solo si existe una sucesión en \( S \) que converge a \( x \) (ya que \( S \) está compuesto de puntos límites o aislados).

2. Si \( k \) es el ínfimo de un conjunto \( A \) entonces existe una sucesión en \( A \) que converge a \( k \).

Saludos.

Buenos días, son conceptos nuevos para mí y aunque trate no se por donde empezar la demostración, por eso me veo en la obligación de solicitar algún tipo de ayuda

[Luis Fuentes]

Hola

Buenos días, son conceptos nuevos para mí y aunque trate no se por donde empezar la demostración, por eso me veo en la obligación de solicitar algún tipo de ayuda

Tienes que probar que \( \bar S=\{x\in X:d(x,S)=0\} \).

1) Dividimos la demostración en dos partes (como es frecuente para probar la igualdad de dos conjuntos) correspondientes a cada una de las inclusioones:

A) \( \bar S\subset \{x\in X:d(x,S)=0\} \).
B) \( \{x\in X:d(x,S)=0\}\subset \bar S \).

2) Para (A).  Toma \( x\in \bar S \).
2.1) Por estar en la adherencia existe \( \{x_n\}\subset S \) tal que \( x_n\to x \).
2.2) Como \( \{x_n\}\to x \) se cumple que \( d(x_n,x)\to 0 \).
2.3) De lo anterior deduce que \( d(S,x)=inf\{d(s,x)|s\in S\}=0 \).

3) Para (B). Si \( d(x,S)=0 \) significa que \( inf\{d(s,x)|s\in S\}=0 \).
3.1) Por definición de ínfimo dado \( n\in \Bbb N \) existe \( x_n\in S \)  tal que \( d(x_n,x)<1/n \).
3.2) De lo anterior deduce que \( \{x_n\}\to x \). Concluye que \( x\in \bar S. \)

Completa los detalles. Fíjate que la necesidad de más o menos aclaraciones depende de las definiciones y los resultados previos sobre adherencia e ínfimo que manejes. Es necesario que entiendas tu las cosas, a tu manera y en base a tus conocimientos. Si no comprendes algo detalla todo lo que puedas las dudas indicando hasta donde si entiendes y dónde empiezan tus dificultades.

Saludos.