Autor Tema: Conjunto abierto

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29 Septiembre, 2021, 12:35 am
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carambola

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Demostrar que el conjunto $$A = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x>0\}$$ es abierto

29 Septiembre, 2021, 01:14 am
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Toma la bola \( B((x,y) , \epsilon)  \),  con \( \epsilon = x  \)

29 Septiembre, 2021, 01:26 am
Respuesta #2

delmar

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Hola

Otra forma considera un punto genérico de A por ejemplo \( (x_0,y_0) \) siempre existe \( 0<\rho<x_0 \) denominando \( \epsilon=x_0-\rho>0 \) ahora ¿ \( B((x_0,y_0), \epsilon)\subseteq{A} \)? En ese caso ¿qué se puede decir de A?


Saludos

29 Septiembre, 2021, 09:06 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Demostrar que el conjunto $$A = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x>0\}$$ es abierto

Otra forma (si se ha estudiado la teoría que la sustenta). Considera la función continua \( f:\Bbb R^2\to \Bbb R \) definida como \( f(x,y)=x \) entonces:

\( A=f^{-1}((0,+\infty))  \)

es abierto por ser la imagen recíproca de un abierto por una función continua.

Saludos.

CORREGIDO (¡gracias martiniano!)

29 Septiembre, 2021, 09:51 am
Respuesta #4

martiniano

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Hola.

Creo, Luis, que te ha faltado definir la función de alguna manera como a partir de su expresión analítica o algo así. Supongo que sería algo así: \[ f(x, y) =x \]

Un saludo.

29 Septiembre, 2021, 09:59 am
Respuesta #5

martiniano

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Hola.

¿Esto estaría bien?

La topología usual en \[ \mathbb{R^2} \] es la topología producto de \[ \mathbb{R} \] consigo misma. Al ser un producto finito, coincide con la topología por cajas. Como \[ A=(0, +\infty) \times{\mathbb{R}} \] es producto de dos abiertos de \[ \mathbb{R} \] pues es un abierto en esa topología por cajas.

Me cuesta mucho adivinar cuándo uno de estos ejercicios está suficientemente justificado. Supongo que depende del contexto en el que se haya planteado.

Un saludo.

29 Septiembre, 2021, 10:05 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

La topología usual en \[ \mathbb{R^2} \] es la topología producto de \[ R \] consigo misma. Al ser un producto finito, coincide con la topología por cajas. Como \[ A=(0, +\infty) \times{\mathbb{R}} \] es producto de dos abiertos de \[ \mathbb{R} \] pues es un abierto en esa topología por cajas.

Me cuesta mucho adivinar cuándo uno de estos ejercicios está suficientemente justificado. Supongo que depende del contexto en el que se haya planteado.

Si, está bien. Todo depende de los resultados previos en los que puedas basarte.

Saludos.