Autor Tema: Existencia de un número finito de funcionales.

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27 Septiembre, 2021, 09:20 pm
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S.S

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Hola a todos, tengo lo siguiente.

Sea \( m := \{f: \Gamma \rightarrow{R}: \text{funciones acotadas }\}  \) donde \( \Gamma  \) es un conjunto infinito numerable, si \( X \) es um subespacio complementado de \(  m  \), entonces:

1. \( m/X \) es isomorfo a un subespacio de \( m \). Considere \( \phi: m \rightarrow{m/X} \).
2. Existe \( \{f_{i}\}_{i=1}^{\infty} \in (m/X)^{*} \), tales que si \( f_{i}(u)=0 \) para cada \( j \in \mathbb{N} \) , entonces \( u=0 \). (\(  u \in m/X  \))

Gracias.
Pdta. Adjunto el texto que estoy siguiendo, la verdad estoy atascado en algunas afirmaciones. Esta está casi al final.

30 Septiembre, 2021, 10:39 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Hola a todos, tengo lo siguiente.

Sea \( m := \{f: \Gamma \rightarrow{R}: \text{funciones acotadas }\}  \) donde \( \Gamma  \) es un conjunto infinito numerable, si \( X \) es um subespacio complementado de \(  m  \), entonces:

1. \( m/X \) es isomorfo a un subespacio de \( m \). Considere \( \phi: m \rightarrow{m/X} \).

Por ser un subespacio complementado tienes \( p:m\to m \) con \( Im(p)=X \) y \( p^2=p \).  Entonces \( ker(1-p)=X \) y  \( m/ker(1-p)\approx{}Im(1-p) \) donde \( Im(1-p) \) es un subespacio de \( m \).

Citar
2. Existe \( \{f_{i}\}_{i=1}^{\infty} \in (m/X)^{*} \), tales que si \( f_{i}(u)=0 \) para cada \( j \in \mathbb{N} \) , entonces \( u=0 \). (\(  u \in m/X  \))

Esto no lo veo muy claro. Por como enlaza esa afirmación de lo anterior, parece que la deduce del hecho de que \( m/X \) sea isomorfa a un subespacio de \( m \).

Entonces, ¿dado un subespacio \( S \) (pongamos cerrado) de un espacio  de Banach \( m \) existe una familia numerable de funcionales \( f\in S^* \) tales que \( \displaystyle\bigcap ker(f_i)=\{\vec 0\} \)?.

Pues no lo sé...

Saludos.

30 Septiembre, 2021, 11:09 am
Respuesta #2

geómetracat

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Entonces, ¿dado un subespacio \( S \) (pongamos cerrado) de un espacio  de Banach \( m \) existe una familia numerable de funcionales \( f\in S^* \) tales que \( \displaystyle\bigcap ker(f_i)=\{\vec 0\} \)?.

Yo diría que eso es falso en general. Pero en el contexto del ejercicio donde \[ \Gamma = \{x_1,x_2,\dots \} \] es numerable, podemos tomar \[ f_i \in m^* \] como la evaluación en \[ x_i \], definida por \[ f_i(u) = u(x_i) \]. Claramente \[ u \in \bigcap_i \ker(f_i) \] si y solo si \[ u=0 \]. Como \[ m/X \] es isomorfo a un subespacio de \[ m \], las restricciones de los funcionales \[ f_i \] a este subespacio dan la familia pedida.

Añadido: En efecto la propiedad de la cita es falsa para espacios de Banach arbitrarios. Si eso se cumpliera, tendríamos una aplicación inyectiva \[ \Phi:S \to \Bbb R^\Bbb N \] dada por \[ \Phi(u)=(f_1(u),f_2(u),\dots) \]. Luego \[ S \] tendría cardinalidad a lo sumo \[ |\Bbb R^\Bbb N| = 2^{\aleph_0} \]. Pero hay espacios de Banach de cardinalidades arbitrariamente altas (por ejemplo, funciones acotadas \[ \Gamma \to \Bbb R \] con \[ |\Gamma| \] suficientemente alto, con la norma del supremo).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

01 Octubre, 2021, 01:01 pm
Respuesta #3

S.S

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Hola Luis y geometracat. 
Ahí ya quedan cerradas las dudas. Gracias por las respuestas.  :)