Sea X un espacio métrico y \( A\subseteq{}X \) si \( \delta (A) = sup \{d(x,y) : x,y \in{}A\} \) demostrar que: \( \delta\overline{(A)} = \delta( A) \)
Suponemos \( A\ne \emptyset \) y \( \delta (A) \) finito, los restantes casos son fáciles de analizar. Como \( A\subset \overline A \) se deduce que \( \delta (A) \le \delta (\overline A) \). Ahora, si \( \epsilon > 0, \) y \( a,b \in \overline {A} \), existen puntos \( a^\prime, b^\prime \) en \( A \) tales que \( d(a,a') < \epsilon \) y \( d(b,b') < \epsilon \). Entonces,
\( d(a,b) \leq d(a,a') + d(a',b') + d(b',b) < 2 \epsilon + d(a',b')\leq 2 \epsilon + \delta (A). \)
Como la desigualdad se verifica para todo \( \epsilon > 0 \), se deduce que \( \delta(\overline{A}) \le \delta( A) \).
