[Taniadiaz]

Amigos cómo se demuestra?
Sea A un conjunto no vacío en un espacio métrico, pruebe que si toda cobertura abierta de A, admite una subcobertura contable. Entonces A es separable.

[Luis Fuentes]

Hola

Amigos cómo se demuestra?
Sea A un conjunto no vacío en un espacio métrico, pruebe que si toda cobertura abierta de A, admite una subcobertura contable. Entonces A es separable.

Prueba que \( A \) tiene una base \( {\cal B} \) numerable.

Spoiler

Para ello para cada \( n\in \Bbb N \) considera el recubrimiento de \( A \), \( \{B(x,1/n)\cap A\}_{x\in A} \). Por hipótesis tiene un subrecubrimiento numerable \( F_n. \)

Entonces \( F=\displaystyle\bigcup F_n \) es una familia numerable de abiertos por ser unión numerable de numerables. Comprueba que es una base de \( A \).

[cerrar]

Después para cada \( U\in {\cal B} \) toma \( x_U\in U \) y prueba que \( D=\displaystyle\bigcup_{U\in {\cal B}}\{x_U\} \) es denso en \( A \).

Saludos.

[Taniadiaz]

he realizado la demostracion de la siguiente manera:
Sea F una cobertura abierta de A,  por hipótesis A es separable, luego existe un conjunto contable o numerable I tal que  \(  I⊂A \)  y        \( A⊂\bar{I}   \)
sea  \( I={x_1,x_2,…}   \)  se denota
 por G la familia contable de bolas abiertas o discos abiertos de la forma  \( B(x_n;\displaystyle\frac{1}{n}) \),  donde  \( x_n∈I   \)   y    \( n ≥1  \) donde \(  n ∈N \)  asi; \( G= {B(x_1;1),B(x_2; \displaystyle\frac{1}{2}) }  \)

Sea \(  B(x_k;\displaystyle\frac{1}{k})∈G \) si existe alguno o algunos de F  tales que \( B(x_k;\displaystyle\frac{1}{k})⊂D \), tomamos algunos de ellos y los denotamos ´por \(  D_k  \), de esta manera se construye una subfamilia contable \( f_1  de f: f_1={D_1,D_2 } \) por demostrar que \( f_1 \) cubre al conjunto A.
Sea \( x∈A \),como f es una cobertura de A,existe algún \(  D∈f \)  con \( x∈D  \) dado que D es un conjunto abierto, existe \( ε>0 \) tal que \( B(x,ε)⊂D \)
Elegimos un \(  n≥0 \) con  \( 0< \displaystyle\frac{1}{n}<\displaystyle\frac{ε}{2}  \)
Ahora \( x ∈\bar{I }  \) puesto que \( A⊂\bar{(I)} \) luego debe existir \( x_n∈I \) con \(  x_n∈B(x;\displaystyle\frac{1}{n})  \)
pero  \( d(x_n,x )<\displaystyle\frac{1}{n} \) lo cual es equivalente \( x∈B(x_n; \displaystyle\frac{1}{n}) \) por otra parte, si \( y∈B(x_n; \displaystyle\frac{1}{n}) \)
\( d(x,y)≤d(x,x_n )+d(y,x_n )<\displaystyle\frac{1}{n}+\displaystyle\frac{1}{n}=\displaystyle\frac{2}{n}<ε \)

Ó sea \(  y∈B(x,ε)  \)  entonces\(  B(x_n;\displaystyle\frac{1}{n})⊂D  \) pero  \( B(x_n;\displaystyle\frac{1}{n})∈G \)

De la construcción de \(  f_(1 ) \) se tiene que
\(   B(x_n;\displaystyle\frac{1}{n})⊂D_(k ) \)   para un \(  D_k∈f_1 \)  así que
\(  x∈D_k \)   es decir; \(   A⊂ \displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty} D_k \) y\(  f_1  \) 
es una subcobertura contable.

el profesor me ha dicho que el procedimiento esta mal.
que he confundido la tesis con la hipótesis. me pueden ayudar a corregir este ejercicio? como quedaria de la forma correcta? pensé que estaba bien, ahora estoy mas que confundida.

[Luis Fuentes]

Hola

he realizado la demostracion de la siguiente manera:
Sea F una cobertura abierta de A, por hipótesis A es separable, luego existe un conjunto contable o numerable I tal que  \(  I⊂A \)  y       

¿Qué es lo que no entiendes de lo qué te ha indicado el profesor?

¿No ves que el enunciado te pide probar que \( A \) es separable y tu dices que es una hipótesis?¡Es un error muy grueso!. Intenta detallar al máximo que es lo que no ves claro ahí.

Por otra parte en mi primera respuesta te indiqué un camino para la demostración.

Saludos.

[Taniadiaz]

hola, de esta forma si está correcto?

supongamos que existe un conjunto D denso, a lo sumo, numerable en un espacio métrico X, entonces D puede ser escrito de la forma \( D= \{x_n / n\in{}N \} \)
se afirma que la familia de conjuntos abiertos
\( \beta = \{B_{n,k } = B({x_n}, 1/2 k)/n,K \in{}N \}\cup{} \{0 \} \)
es una base a lo sumo numerable de la topología X. en efecto puesto que \( N x N \) es numerable, y la función \( N x N\rightarrow{}\beta \)  dada por \( (n,k)\rightarrow{}B_{n,k} \) es suprayectiva, se sigue que \(  \beta  \) es a lo sumo numerable. Sea G un conjunto abierto no vacío, arbitrario de X.
basta probar que existen \(  n,k \in{}N \) tales que:
\( x\in{}B_{n,k}\subset{}G \)
puesto que, G es abierto y \(  x\in{}G \) existe un \( k\in{}N \) tal que \( B(x,1/k)\subset{}G \), siendo D denso en x,
existe \( x_n\in{}B(x, 1/2k),  \) entonces  la bola abierta \( B_{n,k}\in{}\beta \)
satisface
\( x\in{}B_{n,k} \) y \( B_{n,k}\subset{}B(x,1/k) \)
en efecto, como \( x_n \in{}B(x,1/2k)  \) entonces
\( d(x,x_n)<1/2k  \)
es decir:\(  x\in{}B_{n,k} \), además si \( y \in{}B_{n,k} \)
entonces:
\( d(x,y)\leq{}d(x, x_n )+ d(x_n,y)<\displaystyle\frac{1}{2k}+\displaystyle\frac{1}{2k}=\displaystyle\frac{1}{k} \)
o sea \( y \in{}B(x,1/k) \) así pues \( B_{n,k}\subset{}B(x,1/k)\subset{}G \)

[Luis Fuentes]

Hola

hola, de esta forma si está correcto?

supongamos que existe un conjunto D denso, a lo sumo, numerable en un espacio métrico X, entonces D puede ser escrito de la forma \( D= \{x_n / n\in{}N \} \)
se afirma que la familia de conjuntos abiertos

Pero si empiezas suponiendo que existe un conjunto denso numerable, empiezas suponiendo lo que quieres demostrar. No tiene sentido empezar así.

Además, ¿dónde estás usando la hipótesis: "... toda cobertura abierta de A, admite una subcobertura contable. Entonces A es separable"?.

Saludos.

[Taniadiaz]

Por favor ayúdame, ya no sé qué hacer..

[Luis Fuentes]

Hola

Por favor ayúdame, ya no sé qué hacer..

No logro entender porque no sigues el camino que te he indicado. Dices que no sabes qué hacer...pero ya te he indicado qué hacer:

Prueba que \( A \) tiene una base \( {\cal B} \) numerable.

Spoiler

Para ello para cada \( n\in \Bbb N \) considera el recubrimiento de \( A \), \( \{B(x,1/n)\cap A\}_{x\in A} \). Por hipótesis tiene un subrecubrimiento numerable \( F_n. \)

Entonces \( F=\displaystyle\bigcup F_n \) es una familia numerable de abiertos por ser unión numerable de numerables. Comprueba que es una base de \( A \).

[cerrar]

Después para cada \( U\in {\cal B} \) toma \( x_U\in U \) y prueba que \( D=\displaystyle\bigcup_{U\in {\cal B}}\{x_U\} \) es denso en \( A \).

Lo único que queda por detallar (véase el Spoiler) es probar que \( F=\displaystyle\bigcup F_n \) es una base de \( A \).

Pero dado cualquier abierto básico de \( A \), \( B_A(x,r) \) con \( x\in A \) como cada \( F_n \) es un recubrimiento de \( A \), existe \( x_n\in A \) tal que \( x\in B_A(x_n,1/n) \). Si \( 2/n<r \) entonces \( B_A(x_n,1/n)\subset B_A(x,r) \) ya que si \( y\in B_A(x_n,1/n) \):

\( d(y,x)\leq d(y,x_n)+d(x_n,x)<1/n+1/n<r \)

Después que \( D=\displaystyle\bigcup_{U\in {\cal B}}\{x_U\} \) es denso en \( A \), pero basta tener en cuenta que todo abierto contiene a un abierto básico \( U\in {\cal B} \) y como \( x_U\in D\cap U \) entonces tal abierto corta a \( D \).

Saludos.

[Taniadiaz]

Muchas gracias