Hola
Buenas amigos
tengo el siguiente problema:
Sean \( H \) y \( E \) espacios vectoriales sobre un cuerpo \( K \) y \( T:E\longrightarrow{H} \) una aplicacion
lineal. Si \( M \) es un subconjunto absolutamente convexo de \( E \), probar que \( T(M) \) es absolutamente convexo.
¿Sera posible que probar que existe una biyeccion en la aplicación lineal podría ayudar?
Gracias por su ayuda y colaboración.
Se ha de probar que
T(M) es convexo y equilibrado
Convexo
Si \( u,w\in{T(M)}\Rightarrow{\exists{x,y}\in{M} \ / \ u=T(x),w=T(y)} \)
Por ser M convexo se tiene que si \( t\in{[0,1]}\Rightarrow{x+t(y-x)\in{M}}\Rightarrow{T(x+t(y-x))\in{T(M)}}\Rightarrow{T(x)+t(T(y)-T(x))\in{T(M)}}\Rightarrow{u+t(w-u)\in{T(M)}} \) en consecuencia que se puede decir de
T(M) ¿es convexo o no?
Equilibrado
\( \forall{u}\in{T(M)},\exists{x} \ / \ T(x)=u \) y por ser M equilibrado , si \( x\in{M}\wedge \left |{\lambda}\right |\leq{1}\Rightarrow{\lambda x \in{M}}\Rightarrow{T(\lambda x)\in{T(M)}}\Rightarrow{\lambda T(x)\in{T(M)}}\Rightarrow{\lambda u\in{T(M)}} \)
¿Es T(M) equilibrado?
Saludos
