Autor Tema: Problema de conjuntos absolutamente convexos

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15 Septiembre, 2021, 11:47 pm
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zapayan

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Buenas amigos

tengo el siguiente problema:

Sean \( H \) y \( E \) espacios vectoriales sobre un cuerpo \( K \) y \( T:E\longrightarrow{H} \) una aplicacion
lineal. Si \( M \) es un subconjunto absolutamente convexo de \( E \), probar que \( T(M) \) es absolutamente convexo.

¿Sera posible que probar que existe una biyeccion en la aplicación lineal podría ayudar?
Gracias por su ayuda y colaboración.

16 Septiembre, 2021, 02:09 am
Respuesta #1

delmar

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Hola

Buenas amigos

tengo el siguiente problema:

Sean \( H \) y \( E \) espacios vectoriales sobre un cuerpo \( K \) y \( T:E\longrightarrow{H} \) una aplicacion
lineal. Si \( M \) es un subconjunto absolutamente convexo de \( E \), probar que \( T(M) \) es absolutamente convexo.

¿Sera posible que probar que existe una biyeccion en la aplicación lineal podría ayudar?
Gracias por su ayuda y colaboración.

Se ha de probar que T(M) es convexo y equilibrado

Convexo

Si \( u,w\in{T(M)}\Rightarrow{\exists{x,y}\in{M} \  / \  u=T(x),w=T(y)} \)

Por ser M convexo se tiene que si \( t\in{[0,1]}\Rightarrow{x+t(y-x)\in{M}}\Rightarrow{T(x+t(y-x))\in{T(M)}}\Rightarrow{T(x)+t(T(y)-T(x))\in{T(M)}}\Rightarrow{u+t(w-u)\in{T(M)}} \) en consecuencia que se puede decir de T(M) ¿es convexo o no?

Equilibrado

\( \forall{u}\in{T(M)},\exists{x} \ / \ T(x)=u \) y por ser M equilibrado , si \( x\in{M}\wedge \left |{\lambda}\right |\leq{1}\Rightarrow{\lambda x \in{M}}\Rightarrow{T(\lambda x)\in{T(M)}}\Rightarrow{\lambda T(x)\in{T(M)}}\Rightarrow{\lambda u\in{T(M)}} \)

¿Es T(M) equilibrado?

Saludos

16 Septiembre, 2021, 09:00 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola


¿Sera posible que probar que existe una biyeccion en la aplicación lineal podría ayudar?
Gracias por su ayuda y colaboración.

La aplicación lineal no tiene porque ser biyectiva; así que en principio nada ayuda sacar a colación una biyección.

Saludos.

16 Septiembre, 2021, 11:19 pm
Respuesta #3

zapayan

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Hola


¿Sera posible que probar que existe una biyeccion en la aplicación lineal podría ayudar?
Gracias por su ayuda y colaboración.

La aplicación lineal no tiene porque ser biyectiva; así que en principio nada ayuda sacar a colación una biyección.

Saludos.

Gracias Luis, es cierto.

16 Septiembre, 2021, 11:21 pm
Respuesta #4

zapayan

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Hola

Buenas amigos

tengo el siguiente problema:

Sean \( H \) y \( E \) espacios vectoriales sobre un cuerpo \( K \) y \( T:E\longrightarrow{H} \) una aplicacion
lineal. Si \( M \) es un subconjunto absolutamente convexo de \( E \), probar que \( T(M) \) es absolutamente convexo.

¿Sera posible que probar que existe una biyeccion en la aplicación lineal podría ayudar?
Gracias por su ayuda y colaboración.

Se ha de probar que T(M) es convexo y equilibrado

Convexo

Si \( u,w\in{T(M)}\Rightarrow{\exists{x,y}\in{M} \  / \  u=T(x),w=T(y)} \)

Por ser M convexo se tiene que si \( t\in{[0,1]}\Rightarrow{x+t(y-x)\in{M}}\Rightarrow{T(x+t(y-x))\in{T(M)}}\Rightarrow{T(x)+t(T(y)-T(x))\in{T(M)}}\Rightarrow{u+t(w-u)\in{T(M)}} \) en consecuencia que se puede decir de T(M) ¿es convexo o no?

Equilibrado

\( \forall{u}\in{T(M)},\exists{x} \ / \ T(x)=u \) y por ser M equilibrado , si \( x\in{M}\wedge \left |{\lambda}\right |\leq{1}\Rightarrow{\lambda x \in{M}}\Rightarrow{T(\lambda x)\in{T(M)}}\Rightarrow{\lambda T(x)\in{T(M)}}\Rightarrow{\lambda u\in{T(M)}} \)

¿Es T(M) equilibrado?

Saludos
Hola ¿como vas?

Gracias por el aporte, no se si entiendo mal, pero ¿aun sigue habiendo un problema?

17 Septiembre, 2021, 12:00 am
Respuesta #5

delmar

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Hola

Buenas amigos

tengo el siguiente problema:

Sean \( H \) y \( E \) espacios vectoriales sobre un cuerpo \( K \) y \( T:E\longrightarrow{H} \) una aplicacion
lineal. Si \( M \) es un subconjunto absolutamente convexo de \( E \), probar que \( T(M) \) es absolutamente convexo.

¿Sera posible que probar que existe una biyeccion en la aplicación lineal podría ayudar?
Gracias por su ayuda y colaboración.

Se ha de probar que T(M) es convexo y equilibrado

Convexo

Si \( u,w\in{T(M)}\Rightarrow{\exists{x,y}\in{M} \  / \  u=T(x),w=T(y)} \)

Por ser M convexo se tiene que si \( t\in{[0,1]}\Rightarrow{x+t(y-x)\in{M}}\Rightarrow{T(x+t(y-x))\in{T(M)}}\Rightarrow{T(x)+t(T(y)-T(x))\in{T(M)}}\Rightarrow{u+t(w-u)\in{T(M)}} \) en consecuencia que se puede decir de T(M) ¿es convexo o no?

Equilibrado

\( \forall{u}\in{T(M)},\exists{x} \ / \ T(x)=u \) y por ser M equilibrado , si \( x\in{M}\wedge \left |{\lambda}\right |\leq{1}\Rightarrow{\lambda x \in{M}}\Rightarrow{T(\lambda x)\in{T(M)}}\Rightarrow{\lambda T(x)\in{T(M)}}\Rightarrow{\lambda u\in{T(M)}} \)

¿Es T(M) equilibrado?

Saludos
Hola ¿como vas?

Gracias por el aporte, no se si entiendo mal, pero ¿aun sigue habiendo un problema?

No hay ningún problema, las 2 preguntas que hago es para que las respondas, para ello obviamente tendrás que entender la deducción, las respuestas existen son afirmativas, si no entiendes algo en la deducción pregunta.


Saludos