[nico]

Hola a todos solicito si pueden guiarme con esta actividad.
Comparto lo que voy desarrollando del mismo.

Sea \( X \) un conjunto y \( d: X \times{} X\rightarrow{\mathbb{\mathbb{R}}}^+_0 \) una función que satisface las siguientes condiciones \( \forall{} x , y , z \in{} X \)

1. \( d(x,y) = 0 \Leftrightarrow{} x = y \)

2.  \( d(x,y) = d(y,x) \)

3. \( d(x,\color{red}z\color{black}) \leq{}máx\{d(x,y) , d(y,z)\} \)  CORREGIDO
Probar los siguientes item.

1) Verificar que efectivamente \( d \) es una distancia que llamaremos distancia ultramétrica, lo que hace de \( (X,d) \) es un espacio métrico al que denominaremos espacio ultramétrico
Adjunto archivo de como demostré este punto.

2) Probar que si \( d(x,y) \neq d(y,z) \Rightarrow{} d(x,\color{red}z\color{black}) = máx\{d(x,y) , d(y,z)\} \) , por lo que en este espacio ultrmétrico todos los triángulos son isósceles. CORREGIDO

Estudio 3 casos.

Caso i) \( d(x,y) < d(y,z) \)
Caso ii) \( d(x,y) > d(y,z) \)
Caso iii) \( d(x,y) = d(y,z) \)

Demostración: . Caso i) \( d(x,y) < d(y,z) \)
Sea\( d(x,y) < d(y,z) \), se qué \( d(x,y) \leq{}máx\{d(x,y) , d(y,z)\}= d(y,z)\Rightarrow{} d(x,z) \leq{}d(y,z) \) Quiero probar la igualdad, lo hago por el absurdo.

Supongamos que \( d(x,y) < d(y,z) \) entonces \( d(x,y) \leq{}máx\{d(x,y) , d(y,z)\} \Rightarrow{}d(x,y) < d(y,z) \) lo cual es absurdo. El absurdo proviene de suponer que \( d(x,z) <d(y,z)\Longrightarrow{}d(x,z)=d(y,z) \)
\( d(x,z)= máx\{d(x,y) , d(y,z) \)

Entonces si \( d(x,y) = máx\{d(x,y) , d(y,z)\} \) y \( d(x,y) = d(x,z) y d(x,z) \neq d(y,z)\Rightarrow{} x , y , z \) son vértices de un triángulo isósceles.

El caso para que \( d(y,z) = máx\{d(x,y) , d(y,z)\} \)

\( d(x,z)\neq d(y,z) \) y \( d(x,y) = d(y,z) \Rightarrow{} x , y , z  \) son vértices de un triángulos isósceles.

Los otros dos casos son similares las demostraciones.

Agradezco sugerencias.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Te he corregido en rojo el enunciado; tenías erratas. El problema es que esas erratas las arrastras en las demostraciones; no estoy seguro de si simplemente te has equivocado al escribirlo en el foro; se hace confuso leer tu demostración por culpa de esos errores.

 Fíjate que tu escribes:

\( d(x,y) \leq{}máx\{d(x,y) , d(y,z)\} \)

 Pero eso no dice nada. Siempre se cumple que \( A\leq max(A,B) \) sean cuales sean \( A,B \).

 Entonces si \( d(x,y)<d(y,z) \) lo que tienes es:

\(  d(y,z)\leq max\{d(x,y),d(x,z)\}=d(x,z)\leq max\{d(x,y),d(y,z)\}=d(y,z) \)

 y por tanto todas las desigualdades son igualdades y \( d(x,z)=d(y,z)=max\{d(x,y),d(y,z)\} \).

Saludos.

[nico]

Hola Luis, muchas gracias como siempre por tu gran ayuda y enseñanza a tener más cuidado.
He corregido y subo la totalidad del problema con las demostraciones de cada parte.
Espero se entienda.
Adjunto PDF

Un gran saludo..

[Luis Fuentes]

Hola

Hola Luis, muchas gracias como siempre por tu gran ayuda y enseñanza a tener más cuidado.
He corregido y subo la totalidad del problema con las demostraciones de cada parte.
Espero se entienda.
Adjunto PDF

1) Está bien. Una observación, para justificar que \( d(x,y)\geq 0 \) usas que dicen que la función toma valores en \( \Bbb R^+_0 \). Pero igualmente podría justificarse aunque te la hubiesen definido sobre todos los reales.

De la propiedad (iii):

\( d(x,x)\leq max\{d(x,y),d(y,x)\} \)

Usando la  (i) y la (ii) queda:

\( 0=d(x,x)\leq max\{d(x,y),d(y,x)\}=max\{d(x,y),d(x,y)\}=d(x,y) \)

2) No entiendo como razonas. Pones que:

\( d(x,y)<d(y,z) \) y \( d(x,z)<d(y,z) \) implica \( d(y,z)<d(y,z) \)

No veo porqué.

3) Está bien.

4) En la demostración de que \( \bar B(x,r) \) es abierto debes de añadir:

\( \color{red}B(z,r)\subset\color{black} \bar B(z,r)\subset \bar B(x,r) \)

5) La demostración de que \( B(x,r) \)es cerrado está mal.

Dices que escoges \( r' \) convenientemente (¿cómo?) de forma que \( B(y,r')\subset B^c(x,r). \) Si fueses capaz de hacer eso ya tendrías que es cerrado. Pero no es obvio como hacerlo; de hecho en la mayoría de las métricas no puede hacerse en general si \( d(y,x)=r. \)

Pero en este caso basta tomar \( r'=r/2 \) (de hecho cualquier \( r'<r \)). En efecto, con esa elección si \( z\in B(y,r') \) tienes que:

\( d(z,y)<r'<r\leq d(y,x)\quad \Rightarrow{}\quad d(z,y)\neq d(y,x) \)

Por lo probado en (2) \( d(z,x)=max\{d(x,y),(y,z)\}=d(y,z)\geq r \) y por tanto \( z\not\in B(x,r) \).

Saludos.

[nico]

Hola Luis, agradezco mucho tu tiempo por tu explicación, me ha enseñado mucho.
Ya he realizado las correcciones con tus indicaciones.
Lo subo nuevamente en estos días.

Un gran saludo.